导数的计算　·　历年高考数学真题与解析

8．曲线 $y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}$ 在点 $\left(1, \frac{\mathrm{e}}{2}\right)$ 处的切线方程为（ ）

6．当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 ，则 $f^{\prime}(2)=~()$

8．当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 ，则 $f^{\prime}(2)=~()$

13．曲线 $y=\frac{2 x-1}{x+2}$ 在点 $(-1,-3)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

14．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的函数 $f(x)$ ：
（1）$f\left(x_{1} x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)$ ；
（2）当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ；
③$f^{\prime}(x)$ 是奇函数．

20．设函数 $f(x)=\ln (a-x)$ ，已知 $x=0$ 是函数 $y=x f(x)$ 的极值点．

（1）求 $a$ ；
②设函数 $g(x)=\frac{x+f(x)}{x f(x)}$ ．证明：$g(x)<1$ ．

15．设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+a}$ ．若 $f^{\prime}(1)=\frac{e}{4}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

（10）已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x} \ln x, f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，则 $f^{\prime}$（1）的值为 $\_\_\_\_$ ．

19．（本小题满分 16 分）
记 $f^{\prime}(x), g^{\prime}(x)$ 分别为函数 $f(x), g(x)$ 的导函数．若存在 $x_{0} \in \mathbf{R}$ ，满足 $f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)$ 且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=g^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个＂$S$ 点＂．
（1）证明：函数 $f(x)=x$ 与 $g(x)=x^{2}+2 x-2$ 不存在＂$S$ 点＂；
（2）若函数 $f(x)=a x^{2}-1$ 与 $g(x)=\ln x$ 存在＂$S$ 点＂，求实数 $a$ 的值；
（3）已知函数 $f(x)=-x^{2}+a, g(x)=\frac{b \mathrm{e}^{x}}{x}$ ．对任意 $a>0$ ，判断是否存在 $b>0$ ，使函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内存在＂ S 点＂，并说明理由．

10．（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=(2 x+1) e^{x}, f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，则 $f^{\prime}$ （0）的值为 $\_\_\_\_$。

6．若函数 $f(x), g(x)$ 满足 $\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x=0$，则称 $f(x), g(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的一组正交函数，给出三组函数：①$f(x)=\sin \frac{1}{2} x, g(x)=\cos \frac{1}{2} x$；②$f(x)=x+1, g(x)=x-1$；③$f(x)=x, g(x)=x^{2}$．其中为区间 $[-1,1]$ 的正交函数的组数是

14．若将函数 $f(x)=x^{5}$ 表示为
$f(x)=a_{0}+a_{1}(1+x)+a_{2}(1+x)^{2}+a_{3}(1+x)^{3}++a_{4}(1+x)^{4}++a_{5}(1+x)^{5}$,其中 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{5}$ 为实数，则 $a_{3}=$ $\_\_\_\_$ ．

（第 12 题图）

5． $\int_{2}^{4} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ 等于

4、设 $f(x)=x \ln x$ ，若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=2$ ，则 $x_{0}=$