导数的概念和几何意义　·　历年高考数学真题与解析

4． 曲线 $y=5 x+8 \ln x$ 在点 $(1,5)$ 的切线方程为

12． 直线 $y=2 x+5$ 是曲线 $y=\mathrm{e}^{x}+x+a$ 的切线，则 $a=$ $\_\_\_\_$．

13．若曲线 $y=\mathrm{e}^{x}+x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线也是曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 的切线，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

6．设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+2 \sin x}{1+x^{2}}$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,1)$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）

7．曲线 $f(x)=x^{6}+3 x-1$ 在 $(0,-1)$ 处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）

8．曲线 $y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}$ 在点 $\left(1, \frac{\mathrm{e}}{2}\right)$ 处的切线方程为（ ）

14．曲线 $y=\ln |x|$ 过坐标原点的两条切线的方程为 $\_\_\_\_$ ， $\_\_\_\_$ ．

15．若曲线 $y=(x+a) \mathrm{e}^{x}$ 有两条过坐标原点的切线，则 $a$ 的取值范围是
$\_\_\_\_$ ．

20．已知函数 $f(x)=x^{3}-x, g(x)=x^{2}+a$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 处的切线也是曲线 $y=g(x)$ 的切线．
（1）若 $x_{1}=-1$ ，求 $a$ ；
（2）求 $a$ 的取值范围．

13．曲线 $y=\frac{2 x-1}{x+2}$ 在点 $(-1,-3)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

16.

已知函数 $f(x)=\left|e^{x}-1\right|, x_{1}<0, x_{2}>0$ ，函数 $f(x)$ 的图象在点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 和点 $B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 的两条切线互相垂直，且分别交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点，则 $\frac{|A M|}{|B N|}$ 取值范围是

7．若过点 $(a, b)$ 可以作曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 的两条切线，则（ ）

10．若直线 $l$ 与曲线 $y=\sqrt{x}$ 和 $x^{2}+y^{2}=\frac{1}{5}$ 都相切，则 $l$ 的方程为（ ）

15．曲线 $y=\ln x+x+1$ 的一条切线的斜率为 2 ，则该切线的方程为

6．函数 $f(x)=x^{4}-2 x^{3}$ 的图像在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为

10．曲线 $y=2 \sin x+\cos x$ 在点 $(\pi,-1)$ 处的切线方程为

11．曲线 $y=\cos x-\frac{x}{2}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

11．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 在曲线 $y=\ln x$ 上，且该曲线在点 $A$ 处的切线经过点（－e，－ 1）（ $e$ 为自然对数的底数），则点 $A$ 的坐标是－

13．曲线 $y=3\left(x^{2}+x\right) \mathrm{e}^{x}$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

13．曲线 $y=3\left(x^{2}+x\right) \mathrm{e}^{x}$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

6．已知曲线 $y=a \mathrm{e}^{x}+x \ln x$ 在点 $(1, a e)$ 处的切线方程为 $y=2 x+b$ ，则

7．已知曲线 $y=a \mathrm{e}^{x}+x \ln x$ 在点 $(1, a e)$ 处的切线方程为 $y=2 x+b$ ，则

13．（5分）曲线 $\mathrm{y}=2 \ln \mathrm{x}$ 在点（ 1,0 ）处的切线方程为 $\_\_\_\_$ $y=2 x-2$。

13．（5分）曲线 $y=2 \ln (x+1)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ $y=2 x$。

14．（5分）曲线 $y=(a x+1) e^{x}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线的斜率为 -2 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ －3

5．（5分）设函数 $f(x)=x^{3}+(a-1) x^{2}+a x$ ．若 $f(x)$ 为奇函数，则曲线 $y=f(x$ ）在点（ 0,0 ）处的切线方程为（ ）

6．（5分）设函数 $f(x)=x^{3}+(a-1) x^{2}+a x$ ．若 $f(x)$ 为奇函数，则曲线 $y=f(x$ ）在点（ 0,0 ）处的切线方程为

10．（5分）已知 $a \in R$ ，设函数 $f(x)=a x-\ln x$ 的图象在点（1，$f(1)$ ）处的切线为 1 ，则 1 在 $y$ 轴上的截距为 $\_\_\_\_$。

14．（5分）曲线 $y=x^{2}+\frac{1}{x}$ 在点（1，2）处的切线方程为 $\_\_\_\_$ $x-y+1=0$。

10．设直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别是函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\ln x, 0<x<1, \\ \ln x, x>1,\end{array}\right.$ 图象上点 $P_{1}, P_{2}$ 处的切线，$l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直相交于点 $P$ ，且 $l_{1}, l_{2}$ 分别与 $y$ 轴相交于点 $A, B$ ，则 $\triangle P A B$ 的面积的取值范围是

10．（5 分）（2016 •山东）若函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是

15．（5分）已知 $f(x)$ 为偶函数，当 $x<0$ 时，$f(x)=\ln (-x)+3 x$ ，则曲线 $y=f$ （x）在点 $(1,-3)$ 处的切线方程是 $\quad 2 x+y+1=0$ ．

16．（5分）已知 $f(x)$ 为偶函数，当 $x \leq 0$ 时，$f(x)=e^{-x-1}-x$ ，则曲线 $y=f(x)$在点 $(1,2)$ 处的切线方程是 $\_\_\_\_$ $y=2 x$ ．

9．设直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别是函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\ln x, 0<x<1, \\ \ln x, x>1,\end{array}\right.$ 图象上点 $P_{1}, P_{2}$ 处的切线，$l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直相交于点 $P$ ，且 $l_{1}, l_{2}$ 分别与 $y$ 轴相交于点 $A, B$ ，则 $\triangle P A B$ 的面积的取值范围是

14．（5分）已知函数 $f(x)=a x^{3}+x+1$ 的图象在点（1，$f(1)$ ）处的切线过点（ 2,7 ），则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ 1 ．

15．设曲线 $y=e^{x}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为 $\_\_\_\_$ ．

15．函数 $y=x e^{x}$ 在其极值点处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

16．（3分）已知曲线 $y=x+\ln x$ 在点（1，1）处的切线与曲线 $y=a x^{2}+(a+2) x+1$ 相切，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ 8 ．

10．曲线 $y=e^{-5 x}+2$ 在点 $(0,3)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

11．若曲线 $y=x \ln x$ 上点 $P$ 处的切线平行于直线 $2 x-y+1=0$ ，则点 $P$ 的坐标是 $\_\_\_\_$ ．

11.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若曲线 $y=a x^{2}+\frac{b}{x}$（ $a, b$ 为常数） zxxk过点 $P(2,-5)$ ，且该曲线在点 $P$ 处的切线与直线 $7 x+2 y+3=0$ 平行，则 $a+b$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

14．已知单位向量 $\overrightarrow{e_{1}}$ 与 $\overrightarrow{e_{2}}$ 的夹角为 $\alpha$ ，且 $\cos \alpha=\frac{1}{3}$ ，向量 $\vec{a}=3 \overrightarrow{e_{1}}-2 \overrightarrow{e_{2}}$ 与 $\vec{b}=3 \overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}$ 的夹角为 $\beta$ ，则 $\cos \beta=$ $\_\_\_\_$

7．（5分）曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}-1}$ 在点 $(1,1)$ 处切线的斜率等于（ ）

8．（5分）设曲线 $y=a x-\ln (x+1)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y=2 x$ ，则 $a=$（

10．（5分）已知曲线 $y=x^{4}+a x^{2}+1$ 在点（ $-1, a+2$ ）处切线的斜率为 $8, a=$（

10．（5分）（2013•广东）若曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\ln \mathrm{x}$ 在点 $(1, \mathrm{k})$ 处的切线平行于 x 轴，则 $\mathrm{k}=$ $\_\_\_\_$ ．

11．（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}+2 x, x \leqslant 0 \\ \ln (x+1), x>0\end{array}\right.$ ，若 $|f(x)| \geq a x$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

12．（2013广东，文12）若曲线 $y=a x^{2}-\ln x$ 在 $(1, a)$ 处的切线平行于 $x$ 轴，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

12．（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}+2 x, x \leqslant 0 \\ \ln (x+1), x>0\end{array}\right.$ ，若 $|f(x)| \geq a x$ ，则 $a$ 的取值范围是（ ）

（19）（本小题满分 14 分）
已知首项为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，且 $-2 S_{2}, S_{3}, 4 S_{4}$ 成等差数列．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）证明 $S_{n}+\frac{1}{S_{n}} \leq \frac{13}{6}\left(n \in N^{*}\right)$ ．

14．过直线 $x+y-2 \sqrt{2}=0$ 上点 P 作 $x^{2}+y^{2}=1$ 的两条切线，若两条切线的夹角是 $60^{0}$ ，则点 P 的坐标是

12．曲线 $y=x^{3}-x+3$ 在点 $(1,3)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）曲线 $y=x(3 \ln x+1)$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ $y=4 x-3$ ．

5．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，公差 $\mathrm{d}=-2, S_{n}$ 为其前 n 项和．若 $S_{10}=S_{11}$ ，则 $a_{1}=$

8．（5分）曲线 $y=e^{-2 x}+1$ 在点（ 0,2 ）处的切线与直线 $y=0$ 和 $y=x$ 围成的三角形的面积为（ ）

10．（5分）若曲线 $y=x^{-\frac{1}{2}}$ 在点（ $a, a^{-\frac{1}{2}}$ ）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18 ，则 $\mathrm{a}=$（ ）

4．曲线 $y=x^2-2x+1$ 在点（1,0）处的切线方程为

5．等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{8}=4$ ，函数 $f(x)=x\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{8}\right)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$

7．（5分）若曲线 $y=x^{2}+a x+b$ 在点（1，b）处的切线方程是 $x-y+1=0$ ，则

12．（5 分）（2009•陕西）设曲线 $y=x^{n+1}\left(n \in N^{*}\right)$ 在点（1，1）处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ ，则 $\mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的值为（ ）

12．若存在过点 $(1,0)$ 的直线与曲线 $y=x^{3}$ 和 $y=a x^{2}+\frac{15}{4} x-9$ 都相切，则 $a$ 等于

（13）曲线 $y=x e^{x}+2 x+1$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

16．（4分）（2009•陕西）设曲线 $y=x^{n+1}\left(n \in N^{*}\right)$ 在点（1，1）处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ ，则 $\mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的值为一 $\frac{1}{\mathrm{n}+1}$ —。

4．（5分）函数 $y=\frac{x}{2 x-1}$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为（ ）

5．设函数 $f(x)=g(x)+x^{2}$ ，曲线 $y=g(x)$ 在点 $(1, g(1))$ 处的切线方程为 $y=2 x+1$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处切线的斜率为

（7）曲线 $\mathrm{y}=\frac{x}{x-2}$ 在点 $(1,-1)$ 处的切线方程为

9．（5分）已知直线 $y=x+1$ 与曲线 $y=\ln (x+a)$ 相切，则 $a$ 的值为（ ）

11． $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x^{2}+3 x-4}=$ $\_\_\_\_$。

14．（5分）设曲线 $y=e^{a x}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与直线 $x+2 y+1=0$ 垂直，则 $a=$ $\_\_\_\_$ 2

21、（本小题满分 12 分）设函数 $f(x)=a x-\frac{b}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程为 $7 x-4 y-12=0$ 。（1）求 $y=f(x)$ 的解析式；（2）证明：曲线 $y=f(x)$ 上任一点处的切线与直线 $x=0$ 和直线 $y=x$ 所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

4． $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x}-1}=$

4．（5分）曲线 $y=x^{3}-2 x+4$ 在点（1，3）处的切线的倾斜角为

6．设 $P$ 为曲线 $C: y=x^{2}+2 x+3$ 上的点，且曲线 $C$ 在点 $P$ 处切线倾斜角的取值范围为 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ ，则点 $P$ 横坐标的取值范围为

7．（5分）设曲线 $y=a x^{2}$ 在点 $(1, a)$ 处的切线与直线 $2 x-y-6=0$ 平行，则 $a=$（

7．（5分）已知曲线 $y=\frac{x+1}{x-1}$ 在点 $(3,2)$ 处的切线与直线 $a x+y+1=0$ 垂直，则 $a$ 的值为（）

8．（5分）（2008•江苏）设直线$y= x+b$是曲线$y=lnx$（x＞0）的一条切线，则实数b的值为
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