曲线与方程　·　历年高考数学真题与解析

11．造型 $\boldsymbol{\chi}$ 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 $\boldsymbol{C}$ 的一部分。已知 $\boldsymbol{C}$ 过坐标原点 $\boldsymbol{O}$ ．且 $\boldsymbol{C}$ 上的点满足横坐标大于 -2 ，到点 $F(2,0)$ 的距离与到定直线 $x=a(a<0)$ 的距离之积为 4 ，则（ ）

5．已知曲线 $C: x^{2}+y^{2}=16(y>0)$ ，从 $C$ 上任意一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线段 $P P^{\prime}, P^{\prime}$ 为垂足，则线段 $P P^{\prime}$的中点 $M$ 的轨迹方程为（ ）

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2+t}{6} \\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为

$$ \left\{\begin{array}{l} x=-\frac{2+s}{6} \\ y=-\sqrt{s} \end{array} \text { ( } s\right. \text { 为参数). } $$

（1）写出 $C_{1}$ 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $2 \cos \theta-\sin \theta=0$ ，求 $C_{3}$ 与 $C_{1}$ 交点的直角坐标，及 $C_{3}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标．

9．已知曲线 $C: m x^{2}+n y^{2}=1$ ．

9．已知曲线 $C: m x^{2}+n y^{2}=1$ ．

22．［选修4－4：坐标系与参数方程］
在极坐标系中，$O$ 为极点，点 $M\left(\rho_{0}, \theta_{0}\right)\left(\rho_{0}>0\right)$ 在曲线 $C: \rho=4 \sin \theta$ 上，直线 $l$ 过点 $A(4,0)$ 且与 $O M$ 垂直，垂足为 $P$ ．
①当 $\theta_{0}=\frac{\pi}{3}$ 时，求 $\rho_{0}$ 及 $l$ 的极坐标方程；
②当 $M$ 在 $C$ 上运动且 $P$ 在线段 $O M$ 上时，求 $P$ 点轨迹的极坐标方程．

22．［选修4－4：坐标系与参数方程］
在极坐标系中，$O$ 为极点，点 $M\left(\rho_{0}, \theta_{0}\right)\left(\rho_{0}>0\right)$ 在曲线 $C: \rho=4 \sin \theta$ 上，直线 $l$ 过点 $A(4,0)$ 且与 $O M$ 垂直，垂足为 $P$ ．
（1）当 $\theta_{0}=\frac{\pi}{3}$ 时，求 $\rho_{0}$ 及 $l$ 的极坐标方程；
（2）当 $M$ 在 $C$ 上运动且 $P$ 在线段 $O M$ 上时，求 $P$ 点轨迹的极坐标方程．

8．（5 分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 $C: x^{2}+y^{2}=1+|x| y$ 就是其中之一 （如图）．给出下列三个结论：
①曲线 $C$ 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{2}$ ；
③曲线 $C$ 所围成的＂心形＂区域的面积小于 3 ．
其中，所有正确结论的序号是（ ）

20．（12分）设 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 在椭圆 $C$ ：$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 上，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线 ，垂足为 $N$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{N P}=\sqrt{2} \overrightarrow{N M}$ ．
（1）求点 p 的轨迹方程；
②设点 Q 在直线 $\mathrm{x}=-3$ 上，且 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=1$ ．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F ．

23．在直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos \alpha \\ y=\sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数），以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=2 \sqrt{2}$ 。
（1）写出 $\mathrm{C}_{1}$ 的普通方程和 $\mathrm{C}_{2}$ 的直角坐标方程；
②设点 P 在 $\mathrm{C}_{1}$ 上，点 Q 在 $\mathrm{C}_{2}$ 上，求 $|\mathrm{PQ}|$ 的最小值及此时 P 的直角坐标．