双曲线　·　历年高考数学真题与解析

12． 双曲线 $5 x^{2}-6 y^{2}=1$ 的离心率为 $\_\_\_\_$。

9. 已知双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 _ { ( { \mathrm { a } } > 0 , { \mathrm { b } } > 0 ) }$ 的左焦点为F,A是右顶点,P是双曲线上一 点,满足 $| F A | = | F P | , \angle F A P = 3 0 ^ { \circ }$ ，则双曲线离心率为()

11． 双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M, N$ 两点，且 $\angle N A_{1} M=\frac{5 \pi}{6}$ ，则

11. 双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 左右焦点为 $F _ { 1 }$ ， $F _ { 2 }$ ，左右顶点为 $A _ { 1 }$ ， $A _ { 2 }$ .以 $F _ { 1 } F _ { 2 }$ 为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N，且 $\angle N A _ { 1 } M = \frac { 5 \pi } { 6 }$ ，则（）

3．双曲线虚轴长是实轴长的 $\sqrt{7}$ 倍，求离心率为

3．双曲线 $x^{2}-4 y^{2}=4$ 的离心率为

3. 双曲线 $x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } = 4$ 的离心率为 （）

5．已知双曲线 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}(0,4), F_{2}(0,-4)$ ，点 $P(-6,4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）

6．已知双曲线 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}(0,4), F_{2}(0,-4)$ ，点 $P(-6,4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为

8．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2} \cdot P$ 是双曲线右支上一点，且直线 $P F_{2}$ 的斜率为 2．$\triangle P F_{1} F_{2}$ 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（）

12．已知双曲线 $C$ 的焦点为 $(-2,0)$ 和 $(2,0)$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，则 $C$ 的方程为 $\_\_\_\_$ ．

9．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ．过 $F_{2}$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．已知 $P F_{2}=2$ ，直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为（ ）

11．双曲线 $C$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，以 $C$ 的实轴为直径的圆记为 $D$ ，过 $F_{1}$ 作 $D$ 的切线与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，且 $\cos \angle F_{1} N F_{2}=\frac{3}{5}$ ，则 $C$ 的离心率为（ ）

12．已知双曲线 $y^{2}+\frac{x^{2}}{m}=1$ 的渐近线方程为 $y= \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

15．记双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $e$ ，写出满足条件＂直线 $y=2 x$ 与 $C$ 无公共点＂的 $e$ 的一个值 $\_\_\_\_$ ．

16．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $\frac{b}{4 a}$ 的直线交双曲线于点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，交双曲线的渐近线于点 $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 且 $x_{1}<0<x_{2}$ ．若 $|F B|=3|F A|$ ，则双曲线的离心率是 $\_\_\_\_$。

21．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F(2,0)$ ，渐近线方程为 $y= \pm \sqrt{3} x$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A, B$ 两点，点 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 在 $C$ 上，且

$x_{1}>x_{2}>0, y_{1}>0$ 。过 $P$ 且斜率为 $-\sqrt{3}$ 的直线与过 $Q$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交于点 $M$ ．从下面（1）（2）（3）中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①$M$ 在 $A B$ 上；
②$P Q / / A B$ ；
③$|M A|=|M B|$ ．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

7．已知抛物线 $y^{2}=4 \sqrt{5} x, F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 $F_{1}$ ，与双曲线的渐近线交于点 $A$ ，若 $\angle F_{1} F_{2} A=\frac{\pi}{4}$ ，则双曲线的标准方程为（ ）

13．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 2 ，则该双曲线的渐近线方程为

13．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{m}-y^{2}=1(m>0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x+m y=0$ ，则 $C$ 的焦距为 $\_\_\_\_$ ．

5．双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ，且离心率为 2 ，则该双曲线的标准方程为（ ）

5．点 $(3,0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 的一条渐近线的距离为

8.

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点重合，

抛物线的准线交双曲线于 $A, B$ 两点，交双曲线的渐近线于 $C , D$ 两点，若 $|C D|=\sqrt{2}|A B|$ ．则双曲线的离心率为（ ）

11．设双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\sqrt{5} . P$ 是 $C$上一点，且 $F_{1} P \perp F_{2} P$ ．若 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积为 4 ，则 $a=$

11．设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C: x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的两个焦点，$O$ 为坐标原点，点 $P$ 在 $C$ 上且 $|O P|=2$ ，则 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积为（ ）

12．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$ ，则 $C$ 的右焦点的坐标为 $\_\_\_\_$ ；$C$ 的焦点到其渐近线的距离是 $\_\_\_\_$ ．

14．设双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$(a>0, b>0)$ 的一条渐近线为 $y=\sqrt{2} x$ ，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$ ．

6．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{5}=1(\mathrm{a}>0)$ 的一条渐近线方程为 $\mathrm{y}=\frac{\sqrt{5}}{2} x$ ，则该双曲线的离心率是 $\_\_\_\_$ ．

8．已知点 $O(0,0), A(-2,0), B(2,0)$ ．设点 $P$ 满足 $|P A|-|P B|=2$ ，且 $P$ 为函数 $y=3 \sqrt{4-\mathrm{x}^{2}}$ 图象上的点，则 $|O P|=$（ ）

10．双曲线 $C: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ 的右焦点为 $F$ ，点 $P$ 在 $C$ 的一条渐近线上，$O$ 为坐标原点，若 $|P O|=|P F|$ ，则 $\triangle P F O$ 的面积为

10．双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线的倾斜角为 $130^{\circ}$ ，则 C 的离心率为

10．已知 $F$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$ 的一个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$O$ 为坐标原点，若 $|O P|=|O F|$ ，则 $\triangle O P F$ 的面积为（ ）

11．设 $F$ 为双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点，$O$ 为坐标原点，以 $O F$ 为直径的圆与圆 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 交于 $P , Q$ 两点．若 $|P Q|=|O F|$ ，则 $C$ 的离心率为

16．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A, B$ 两点．若 $\overrightarrow{F_{1} A}=\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{F_{1} B} \cdot \overrightarrow{F_{2} B}=0$ ，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$ －

2．渐近线方程为 $x \pm y=0$ 的双曲线的离心率是（ ）

5．已知 $a=\log _{2} 7, b=\log _{3} 8, c=0.3^{0.2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为

5．（5 分）已知双曲线 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-y^{2}=1 \quad(a>0)$ 的离心率是 $\sqrt{5}$ ，则 $a=~(\quad)$

7．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 经过点 $(3,4)$ ，则该双曲线的渐近线方程是 A．

10．（5分）已知双曲线 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则点（4 ，0）到 C 的渐近线的距离为（ ）

11．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1, O$ 为坐标原点，$F$ 为C的右焦点，过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线的交点分别为 $M, N$ ．若 $\triangle O M N$ 为直角三角形，则 $|M N|=$

11．（5分）设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 . b>0)$ 的左，右焦点，$O$是坐标原点。过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ，若 $\left|P F_{1}\right|=\sqrt{6}|O P|$ ，则 C 的离心率为（ ）

12．（5 分）若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4}=1(a>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $a=4$ ．

2．（4 分）双曲线 $\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 的焦点坐标是（ ）

5．（5分）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（ ）

6．（5分）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（ ）

（7）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 2 ，过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A, B$ 两点．设 $A, B$ 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ ，且 $d_{1}+d_{2}=6$ ，则双曲线的方程为

8．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点 $F(c, 0)$ 到一条渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2} c$ ，则其离心率的值是 $\_\_\_\_$ ．

10．（5 分）若双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $m=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

14．（5分）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{3}{5} x$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ 5

15．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点为A，以 $A$ 为圆心，$b$ 为半径作圆 $A$ ，圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M$ 、 $N$ 两点．若 $\angle M A N=$

$60^{\circ}$ ，则C的离心率为 $\_\_\_\_$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

5．（5分）若 $a>1$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ 的离心率的取值范围是（）

5．（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $A$ 在双曲线

的渐近线上，$\triangle \mathrm{OAF}$ 是边长为 2 的等边三角形（ O 为原点），则双曲线的方程为

5．（5分）已知 $F$ 是双曲线 $C$ ：$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的右焦点，$P$ 是 $C$ 上一点，且 $P F$ 与 $x$ 轴垂直 ，点 A 的坐标是（ 1,3 ），则 $\triangle \mathrm{APF}$ 的面积为（ ）

5．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y= \frac{\sqrt{5}}{2} x$ ，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 有公共焦点，则 $C$ 的方程为（ ）

8．（5 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 $P, Q$ ，其焦点是 $F_{1}, F_{2}$ ，则四边形 $F_{1} P F_{2} Q$ 的面积是 $\_\_\_\_$ ．

9．（5分）若双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线被圆 $(x-2) { }^{2}+y^{2}=4$ 所截得的弦长为 2 ，则 $C$ 的离心率为（ ）

9．（5 分）若双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $m=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

12．（5 分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线为 $2 x+y=0$ ，一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，则 $\mathrm{a}=$

13．（5 分）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线为正方形 $O A B C$ 的边 $O A$ ， $O C$ 所在的直线，点 $B$ 为该双曲线的焦点．若正方形 $O A B C$ 的边长为 2 ，则 $a=$ 2

13．（5 分）（2016 • 山东）已知双曲线 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，若矩形 $A B C D$ 的四个顶点在 E 上， $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 的中点为 E 的两个焦点，且 $2|\mathrm{AB}|=3|\mathrm{BC}|$ ，则 E 的离心率是 $\_\_\_\_$ ．

3．（5分）（2016•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{7}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{3}=1$ 的焦距是 $\_\_\_\_$ ．

4．（5分）（2016•天津）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，且双曲线的一条渐近线与直线 $2 \mathrm{x}+\mathrm{y}=0$ 垂直，则双曲线的方程为

6．（5 分）（2016•天津）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 四点，四边形 ABCD 的面积为 2 b ，则双曲线的方程为（ ）

7．（5 分）（2016•浙江）已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{m^{2}}+y^{2}=1(m>1)$ 与双曲线 $C_{2}: \frac{x^{2}}{n^{2}}-y^{2}=1(n>0)$的焦点重合，$e_{1}, e_{2}$ 分别为 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率，则（ ）

10．（5 分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x+y=0$ ，则 $a= \frac{\sqrt{3}}{3}-$ ．

10．设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 1，过 $F$ 作 $A F$ 的垂线与双曲线交于 $B, C$ 两点，过 $B, C$ 分别作 $A C, A B$ 的垂线交于点 $D$．若 $D$ 到直线 $B C$ 的距离小于 $a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}=1$ 右支上的一个动点，若点 $P$ 到直线 $x-y+1=0$ 的距离大于 $c$ 恒成立，则实数 $c$ 的最大值为 $\_\_\_\_$。

12．（5 分）已知 $(2,0)$ 是双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的一个焦点，则 $b=$ $\_\_\_\_$ $\sqrt{3}$ ．

12．已知双曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的顶点重合，$C_{1}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$，若 $C_{2}$ 的一条渐近线的斜率是 $C_{1}$ 的一条渐近线的斜率的2倍，则 $C_{2}$ 的方程为 $\_\_\_\_$．

13．设 $F$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的一个焦点，若 $C$ 上存在点 $P$，使线段 $P F$ 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$．

15．（3分）已知双曲线过点 $(4, \sqrt{3})$ 且渐近线方程为 $y= \pm \frac{1}{2} x$ ，则该双曲线的标准方程是 $-\frac{1}{4} x^{2}-y^{2}=1$ 。

（4）下列双曲线中，焦点在 $y$ 轴上且渐近线方程为 $y= \pm 2 x$ 的是

5．过双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，则 $|A B|=$

6、若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的一条渐近线经过点 $(3,-4)$ ，则此双曲线的离心率为

7、过双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的右焦点且与 $x$ 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 $A , B$ 两点，则 $|A B|=()()$

8．将离心率为 $e_{1}$ 的双曲线 $C_{1}$ 的实半轴长 $a$ 和虚半轴长 $b(a \neq b)$ 同时增加 $m(m>0)$ 个单位长度，得到离心率为 $e_{2}$ 的双曲线 $C_{2}$ ，则

9．将离心率为 $e_{1}$ 的双曲线 $C_{1}$ 的实半轴长 $a$ 和虚半轴长 $b(a \neq b)$ 同时增加 $m(m>0)$ 个单位长度，得到离心率为 $e_{2}$ 的双曲线 $C_{2}$ ，则

9．设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 的右焦点是 F ，左、右顶点分别是 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}$ ，过 F 做 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2}$ 的垂线与双曲线交于 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 两点，若 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B} \perp \mathrm{~A}_{2} C$ ，则双曲线的渐近线的斜率为

11．（5 分）设双曲线 C 经过点 $(2,2)$ ，且与 $\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$ 具有相同渐近线，则 C的方程为 $-\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{12}=1$ —；渐近线方程为 $\underline{y= \pm 2 x}$ ．

11．（5分）双曲线 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 的离心率为 2 ，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，则 C 的焦距等于（ ）

19．（本小题满分 13 分）已知双曲线 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别为 $l_{1}: y=2 x, l_{2}: y=-2 x$.
（1）求双曲线 $E$ 的离心率；
（2）如图，$O$ 为坐标原点，动直线 $l$ 分别交直线 $l_{1}, l_{2}$ 于 $A, B$ 两点 $(A, B$ 分别在第一，四象限），且 $\triangle O A B$ 的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 $l$ 有且只有一个公共点的双曲线 $E$ ？若存在，求出双曲线 $E$ 的方程；若不存在，说明理由．

4．若实数 $k$ 满足 $0<k<9$ ，则曲线 $\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9-k}=1$ 与曲线 $\frac{x^{2}}{25-k}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 的

4．（5分）已知 $F$ 为双曲线 $C$ ：$x^{2}-m y^{2}=3 m(m>0)$ 的一个焦点，则点 $F$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为（ ）

4．（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1 ~(a>0) ~$ 的离心率为2，则实数 $a=~(\quad)$

9．（5分）已知双曲线 $C$ 的离心率为 2 ，焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，点 $A$ 在 $C$ 上，若 $\left|F_{1} A\right|=2 \mid F { }_{2} A \mid$ ，则 $\cos \angle A F_{2} F_{1}=$

9．过双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的右顶点作 $x$ 轴的垂线与 $C$ 的一条渐近线相交于 $A$ 。若以 $C$ 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过 $A , O$ 两点（ $O$ 为坐标原点），，则双曲线 $C$ 的方程为（ ）

11．双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 的离心率为 $\_\_\_\_$．

11．双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{m}=1$ 的离心率为 $\frac{5}{4}$，则 m 等于 $\_\_\_\_$．

14．设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两个焦点， P 是 C 上一点，若 $|P F|_{1}+\left|P F_{2}\right|=6 a$，且 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的最小内角为 $30^{\circ}$，则 C 的离心率为 $\_\_\_\_$。

21．（12分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ，$F_{2}$ ，离心率为 3 ，直线 $y=2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$ ．
（1）求 $a$ ，$b$ ；
（II）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $\left|A F_{1}\right|=\left|B F_{1}\right|$ ，证明：$\left|A F_{2}\right| ,|A B| ,\left|B F_{2}\right|$ 成等比数列。

3．双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ 的顶点到渐进线的距离等于

4．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则C的渐近线方程为

4．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则C的渐近线方程为（ ）

4．双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的顶点到其渐近线的距离等于

6．（5 分）若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（ ）

7．（5 分）双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$ 的离心率大于 $\sqrt{2}$ 的充分必要条件是（ ）

10．（5分）已知 $F_{1} , F_{2}$ 为双曲线 $C: x^{2}-y^{2}=2$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$\left|P F_{1}\right|=2 \left|P F_{2}\right|$ ，则 $\cos \angle F_{1} P F_{2}=$（ ）

10．（5分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 $\mathrm{y}^{2}=16 \mathrm{x}$ 的准线交于点 $A$ 和点 $B,|A B|=4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的实轴长为（ ）

11．（2012•天津）已知双曲线 $\mathrm{C}_{1}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 与双曲线C：$\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{16}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 有相同的渐近线，且 $\mathrm{C}_{1}$ 的右焦点为 $\mathrm{F}(\sqrt{5}, 0)$ ．则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

14．如图，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$ 的两顶点为 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}$ ，虚轴两端点为 $\mathrm{B} 1, \mathrm{~B} 2$ ，两焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ．若以 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆内切于菱形 $F_{1} B_{1} F_{2} B_{2}$ ，切点分别为 $A, B, C, D$ 。则
（I）双曲线的离心率 $\mathrm{e}=$ $\_\_\_\_$ ；
（II）菱形 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{~F}_{2} \mathrm{~B}_{2}$ 的面积 $\mathrm{S}_{1}$ 与矩形 ABCD 的面积 $\mathrm{S}_{2}$ 的比值 $\frac{S_{1}}{S_{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

（14）设 $P$ 为直线 $y=\frac{b}{3 a} x$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 左支的交点，$F_{1}$ 是左焦点， $P F_{1}$ 垂直于 $x$ 轴，则双曲线的离心率 $e=$ $\_\_\_\_$

6．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的焦距为 10 ，点 $P(2,1)$ 在的渐近线上，则 $C$ 的方程为（

8．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{m^{2}+4}=1$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则 $m$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

8．（5分）等轴双曲线 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，$C$ 与抛物线 $y^{2}=16 x$ 的准线交于点 $A$ 和点 $B,|A B|=4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的实轴长为（ ）

10．已知双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的一条渐近线的方程为 $y=2 x$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．

5．（5分）（2011•湖南）设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1 \quad(a>0)$ 的渐近线方程为 $3 x \pm 2 y=0$ ，则 $a$ 的值为（ ）

6．设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$ 的渐近线方程为 $3 x \pm 2 y=0$ ，则 a 的值为

6．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左顶点与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点的距离为 4 ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为 $(-2,-$ 1），则双曲线的焦距为（ ）

7．（5分）设直线 $l$ 过双曲线 $C$ 的一个焦点，且与 $C$ 的一条对称轴垂直，$I$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$|A B|$ 为 $C$ 的实轴长的2倍，则 $C$ 的离心率为（）

13．（5分）（2010•北京）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的离心率为 2 ，焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 $\_\_\_\_$ $(4,0),(-4,0)$ ；渐近线方程为 $\_\_\_\_$ $y= \pm \sqrt{3} x$ 。

（14）已知圆 C 的圆心是直线 $\mathrm{x}- y+1=0$ 与 $x$ 轴的交点，且圆 $C$ 与直线 $x+y+3=0$ 相切。则圆 $C$ 的方程为 $\_\_\_\_$

正视图

俯视图

（5）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程是 $\mathrm{y}=\sqrt{3} x$ ，它的一个焦点在抛物线 $y^{2}=24 x$ 的准线上，则双曲线的方程为

（5）中心在原点，焦点在 $x$ 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（ 4, － 2 ），则它的离心率为

（4）双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$ 的焦点到渐近线的距离为

7．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，其一条渐近线方程为 $y=x$ ，点 $P\left(\sqrt{3}, y_{0}\right)$ 在该双曲线上，则 $\overrightarrow{P F_{1}} \bullet \overrightarrow{P F_{2}}=$

7．设 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两个焦点，若 $F_{1}, F_{2}, P(0,2 b)$ 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为

（8）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，其一条渐进线方程为 $y=x$ ，点 $p\left(\sqrt{3}, y_{0}\right)$ 在该双曲线上，则 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=$
A -12
B -2
C 0
D 4

10．若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（

11．（5分）设 $\triangle A B C$ 是等腰三角形，$\angle A B C=120^{\circ}$ ，则以 $A$ ，$B$ 为焦点且过点 $C$ 的双曲线的离心率为（ ）

14．设双曲线 $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ 的右顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ．过点 $F$ 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 $B$ ，则 $\triangle A F B$ 的面积为 $\_\_\_\_$。

2、双曲线 $\frac{x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{2}=1$ 的焦距为

21．（12分）双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 $\mathrm{I}_{1}, \mathrm{I}_{2}$ ，经过右焦点 $F$ 垂直于 $I_{1}$ 的直线分别交 $I_{1}, I_{2}$ 于 $A, B$ 两点。已知 $|\overrightarrow{O A}| ,|\overrightarrow{A B}| , \mid \overrightarrow{O B}$ ｜成等差数列，且 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{FA}}$ 同向．
（I）求双曲线的离心率；
（II）设 $A B$ 被双曲线所截得的线段的长为 4 ，求双曲线的方程．

（7）若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的两个焦点到一条准线的距离之比为 $3: 2$ ，则双曲线的离心率是

7．（5 分）（2008 • 四川）若点 $P(2,0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的一条渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，则双曲线的离心率为

（8）若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的两个焦点到一条准线的距离之比为 $3: 2$ ，则双曲线的离心率是

8．若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 上横坐标为 $\frac{3 a}{2}$ 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（）

9．（5分）（2008•陕西）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作倾斜角为 3 $0^{\circ}$ 的直线交双曲线右支于 M 点，若 $\mathrm{MF}_{2}$ 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（）

9．（5分）设 $a>1$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{(a+1)^{2}}=1$ 的离心率 $e$ 的取值范围是（ ）

10．（5 分）（2008 • 山东）4．设椭圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的离心率为 $\frac{5}{13}$ ，焦点在 x 轴上且长轴长为 26 ，若曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 上的点到椭圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8 ，则曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的标准方程为