中点弦问题　·　历年高考数学真题与解析

11．设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是（ ）

12．设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是（ ）

16．已知直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 在第一象限交于 $A, B$ 两点，$l$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于 $M, N$ 两点，且 $|M A|=|N B|,|M N|=2 \sqrt{3}$ ，则 $l$ 的方程为

16．已知函数 $f(x)=\sin (x+\theta)+a \cos (x+2 \theta)$，其中 $a \in R, \theta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
（1）当 $a=\sqrt{2}, \theta=\frac{\pi}{4}$ 时，求 $f(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值与最小值；
（2）若 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, f(\pi)=1$，求 $a, \theta$ 的值．

10．（5分）已知陏圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(3,0)$ ，过点 $F$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A , B$ 两点．若 $A B$ 的中点坐标为 $(1,-1)$ ，则 $E$ 的方程为

（13）设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 $\mathrm{F}(1,0)$ ，直线 l 与抛物线 C 相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点 －若 AB 的中点为 $(2,2)$ ，则直线 $\boldsymbol{l}$ 的方程为 $\_\_\_\_$。

15．（5分）已知 $F$ 是抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点，$A, B$ 是 $C$ 上的两个点，线段 $A B$ 的中点为 $\mathrm{M}(2,2)$ ，则 $\triangle \mathrm{ABF}$ 的面积等于 $\_\_\_\_$ 2 ．

19．（本小题共14分）
已知菱形 $A B C D$ 的顶点 $A, C$ 在椭圆 $x^{2}+3 y^{2}=4$ 上，对角线 $B D$ 所在直线的斜率为 1 ．
（I）当直线 $B D$ 过点 $(0,1)$ 时，求直线 $A C$ 的方程；
（II）当 $\angle A B C=60^{\circ}$ 时，求菱形 $A B C D$ 面积的最大值．