抛物线　·　历年高考数学真题与解析

5． 已知抛物线 $C_{1}: y^{2}=2 p_{1} x\left(p_{1}>0\right)$ 和 $C_{2}: x^{2}=2 p_{2} y\left(p_{2}>0\right)$ 均经过点（4，8），则 $C_{1}$ 的焦点与 $C_{2}$ 的焦点之间的距离为

11. 抛物线 $y ^ { 2 } { = } 2 p x ( p > 0 )$ 的顶点到焦点的距离为3，则 $p =$

11．已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的顶点到焦点的距离为 3 ，则 $p=$ $\_\_\_\_$．

6． 设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(P>0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A$ 在 $C$ 上，过 $A$ 作 $C$ 准线的垂线，垂足为 $B$ ．若直线 $B F$ 的方程为 $y=-2 x+2$ ，则 $|A F|=$

6. 抛物线 $C : y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 焦点F， $A \in C$ ，过A作C准线的垂线，垂足为B.若 $l _ { B F } : y = - 2 x + 2$ ，则|AF|=（）

10．抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的准线为 $l, P$ 为 $C$ 上的动点，过 $P$ 作 $\odot A: x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的一条切线，$Q$ 为切点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ ，则（ ）

11．已知抛物线 $y^{2}=16 x$ ，则焦点坐标为 $\_\_\_\_$。

13．已知点 $A(1, \sqrt{5})$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 上，则 $A$ 到 $C$ 的准线的距离为 $\_\_\_\_$ ．

13．已知点 $A(1, \sqrt{5})$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 上，则 $A$ 到 $C$ 的准线的距离为

6．已知抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上．若 $M$ 到直线 $x=-3$ 的距离为 5 ，则 $|M F|=$

11．已知 $O$ 为坐标原点，点 $A(1,1)$ 在抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p>0)$ 上，过点 $B(0,-1)$ 的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，则（ ）

21．设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D(p, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点．当直线 $M D$垂直于 $x$ 轴时，$|M F|=3$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
②设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$ ，记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$ 。当 $\alpha-\beta$取得最大值时，求直线 $A B$ 的方程．

5．设 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，点 $A$ 在 $C$ 上，点 $B(3,0)$ ，若 $|A F|=|B F|$ ，则 $|A B|=$（ ）

14.

已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F, P$ 为 $C$ 上一点，$P F$ 与 $x$ 轴垂直，$Q$ 为 $x$ 轴上一点，且 $P Q \perp O P$ ，若 $|F Q|=6$ ，则 $C$ 的准线方程为

20．已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 2 ．
（1）求 $C$ 的方程，
（2）已知 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{P Q}=9 \overrightarrow{Q F}$ ，求直线 $O Q$ 斜率的最大值

3．抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点到直线 $y=x+1$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则 $p=$

20．已知抛物线 $y^{2}=x$ 上的动点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，过 $M$ 分别作两条直线交抛物线于 $P , Q$ 两点，交直线 $x=t$ 于 $A , B$ 两点．
（1）若点 $M$ 纵坐标为 $\sqrt{2}$ ，求 $M$ 与焦点的距离；
（2）若 $t=-1, P(1,1), Q(1,-1)$ ，求证：$y_{A} \cdot y_{B}$ 为常数；
（3）是否存在 $t$ ，使得 $y_{A} \cdot y_{B}=1$ 且 $y_{P} \cdot \underline{y}$ 为常数？若存在，求出 $t$ 的所有可能值，若不存在，请说明理由．

5．设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $D, E$ 两点，若 $O D \perp O E$ ，则 $C$ 的焦点坐标为（ ）

7．设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $D, E$ 两点，若 $O D \perp O E$ ，则 $C$ 的焦点坐标为（ ）

7．设抛物线的顶点为 $O$ ，焦点为 $F$ ，准线为 $l . P$ 是抛物线上异于 $O$ 的一点，过 $P$ 作 $P Q \perp l$ 于 $Q$ ，则线段 $F Q$ 的垂直平分线（ ）．

20．已知抛物线 $y^{2}=4 x, F$ 为焦点，$P$ 为准线 $l$ 上一动点，线段 $P F$ 与抛物线交于点 $Q$ ，定义 $d(P)=\frac{|F P|}{|F Q|}$ ．
（1）若点 $P$ 坐标为 $\left(-1,-\frac{8}{3}\right)$ ，求 $d(P)$ ；
（2）求证：存在常数 $a$ ，使得 $2 d(P)=|F P|+a$ 恒成立；
③设 $P_{1} , P_{2} , P_{3}$ 为准线 $l$ 上的三点，且 $\left|P_{1} P_{2}\right|=\left|P_{2} P_{3}\right|$ ，试比较 $d\left(P_{1}\right)+d\left(P_{3}\right)$ 与 $2 d\left(P_{2}\right)$ 的大小。

8．若抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点是椭圆 $\frac{x^{2}}{3 p}+\frac{y^{2}}{p}=1$ 的一个焦点，则 $p=$

9．若抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点是椭圆 $\frac{x^{2}}{3 p}+\frac{y^{2}}{p}=1$ 的一个焦点，则 $p=$

10．（5 分）已知直线 $l$ 过点 $(1,0)$ 且垂直于 $x$ 轴．若 1 被抛物线 $y^{2}=4 a x$ 截得的线段长为 4 ，则抛物线的焦点坐标为 $\_\_\_\_$ $(1,0)$。

19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）

利用＂平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线＂的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点 $\mathrm{O} , \mathrm{~A} , \mathrm{~B}$ 在抛物线上， OC 是抛物线的对称轴，$O C \perp A B$于 $\mathrm{C}, \mathrm{AB}=3$ 米， $\mathrm{OC}=4.5$ 米．
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）在图3 中，已知 OC 平行于圆锥的母线 $\mathrm{SD}, \mathrm{AB} , \mathrm{DE}$ 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到 $0.01^{\circ}$ ）。

（图 1）

（图2）

（图3）

8．（5分）设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $(-2,0)$ 且斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线与 $C$

交于 $M, N$ 两点，则 $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}=$

12．（5分）过抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点 $F$ ，且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交 $C$ 于点 $M$（ $M$ 在 $x$轴上方）， $\mid$ 为 $C$ 的准线，点 $N$ 在 $I$ ，且 $M N \perp I$ ，则 $M$ 到直线 $N F$ 的距离为（ ）

16．（5分）已知 $F$ 是抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点，$M$ 是 $C$ 上一点，$F M$ 的延长线交 $y$ 轴于点 $N$ ．若 $M$ 为 $F N$ 的中点，则 $|F N|=$ $\_\_\_\_$ 6。

10．（5分）以抛物线 $C$ 的顶点为圆心的圆交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $D$ 、 $E$ 两点．已知 $|A B|=4 \sqrt{2},|D E|=2 \sqrt{5}$ ，则 $C$ 的焦点到准线的距离为（）

14．（5分）（2016•天津）设抛物线 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2 \mathrm{p} \mathrm{t}^{2} \\ \mathrm{y}=2 \mathrm{pt}\end{array}\right.$（t为参数， $\mathrm{p}>0$ ）的焦点为 F ，准线为 l ，过抛物线上一点 A 作 1 的垂线，垂足为 B ，设 $\mathrm{C}\left(\frac{7}{2} \mathrm{p}, 0\right), \mathrm{AF}$ 与 BC 相交于点 E ．若 $|\mathrm{CF}|=2 \mid \mathrm{AF} \mid$ ，且 $\triangle \mathrm{ACE}$ 的面积为 $3 \sqrt{2}$ ，则 p 的值为 $\_\_\_\_$ ．

三、计算题

20．（12分）在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $I: y=t(t \neq 0)$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，交抛物线 $C$ ：$y^{2}=2 p x ~(p>0)$ 于点 $p$ ，$M$ 关于点 $P$ 的对称点为 $N$ ，连结 $O N$ 并延长交 $C$ 于点 $H$

（I）求 $\frac{|\mathrm{OH}|}{|\mathrm{ON}|}$ ；
（II）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由。

20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 8 分．

有一块正方形菜地 $E F G H, E H$ 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 $F$ 点或河边运走 ．于是，菜地分为两个区域 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，其中 $S_{1}$ 中的蔬菜运到河边较近，$S_{2}$ 中的蔬菜运到 $F$点较近，而菜地内 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的分界线 $C$ 上的点到河边与到 $F$ 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 $O$ 为 $E F$ 的中点，点 $F$ 的坐标为 $(1,0)$ ，如图．

（1）求菜地内的分界线 $C$ 的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出 $S_{1}$ 面积是 $S_{2}$ 面积的两倍，由此得到 $S_{1}$ 面积的＂经验值＂为 $\frac{8}{3}$ ．设 $M$ 是 $C$ 上纵坐标为 1 的点，请计算以 $E H$ 为一边、另一边过点 $M$ 的矩形的面积，及五边形 $E O M G H$ 的面积，并判断哪一个更接近于 $S_{1}$ 面积的＂经验值＂。

20．（本题满分14）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
有一块正方形菜地 $E F G H, E H$ 所在直线是一条小河．收获的蔬菜可送到 $F$ 点或河边运走．于是，菜地分为两个区域 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，其中 $S_{1}$ 中的蔬菜运到河边较近，$S_{2}$ 中的蔬菜运到 $F$ 点较近，而菜地内 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的分界线 $C$ 上的点到河边与到 $F$ 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 $O$ 为 $E F$ 的中点，点 $F$ 的坐标为 $(1,0)$ ，如图．

（1）求菜地内的分界线 $C$ 的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出 $S_{1}$ 面积是 $S_{2}$ 面积的两倍，由此得到 $S_{1}$ 面积的＂经验值＂为 $\frac{8}{3}$ ．设 $M$ 是 $C$ 上纵坐标为 1 的点，请计算以 $E H$ 为一边、另有一边过点 $M$ 的矩形的面积，及五边形 $E O M G H$ 的面积，并判断哪一个更接近于 $S_{1}$ 面积的经验值．

3．抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点坐标是

5．（5分）设 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，曲线 $y=\frac{k}{x}(k>0)$ 与 $C$ 交于点 $P, P F \perp x$轴，则 $\mathrm{k}=$（ ）

8．设 $O$ 为坐标原点，$P$ 是以 $F$ 为焦点的抛物线 $y^{2}=2 p x(\mathrm{p}>0)$ 上任意一点，$M$ 是线段 $P F$ 上的点，且 $|P M|=2|M F|$ ，则直线 $O M$ 的斜率的最大值为

14．若抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的准线经过双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的一个焦点，则 $p=$ $\_\_\_\_$．

19．（本小题满分 12 分）
已知点 $F$ 为抛物线 $E: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点，点 $A(2, m)$ 在抛物线 $E$ 上，且 $|A F|=3$ ．
（I）求抛物线 $E$ 的方程；
（ II ）已知点 $G(-1,0)$ ，延长 $A F$ 交抛物线 $E$ 于点 $B$ ，证明：以点 $F$ 为圆心且与直线 $G A$ 相切的圆，必与直线 $G B$ 相切．

3．已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的准线经过点 $(-1,1)$ ，则抛物线焦点坐标为

5、抛物线 $y^{2}=2 p x ~(p>0) ~$ 上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 $p=$ $\_\_\_\_$。

7．抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 上的动点 $Q$ 到焦点的距离的最小值为 1 ，则 $p=$

11．抛物线 $y^{2}=4 x$ 的准线方程为 $\_\_\_\_$ ．

14．平面上以机器人在行进中始终保持与点 $F(1,0)$ 的距离和到直线 $x=-1$ 的距离相等．若机器人接触不到过点 $P(-1,0)$ 且斜率为 $k$ 的直线，则 $k$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$．

15．如图 4，正方形 $A B C D$ 和正方形 $D E F G$ 的边长分别为 $a, b(a<b)$ ，原点 $O$ 为 $A D$ 的中点，抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 经过 $C, F$ 两点，则 $\frac{b}{a}=$ $\_\_\_\_$。

처 4

3．抛物线 $y=\frac{1}{4} x^{2}$ 的准线方程是

（4）【2014年上海，文4，5分】若抛物线 $y^{2}=2 p x$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ 的右焦点重合 ，则该抛物线的准线方程为 $\_\_\_\_$ ．

8．已知点 $A(-2,3)$ 在抛物线 $\mathrm{C}: y^{2}=2 p x$ 的准线上，记 C 的焦点为 F ，则直线 AF 的斜率为

11．（5分）设抛物线C：$y^{2}=2 p x ~(p>0) ~$ 的焦点为F，点M在C上，$|M F|=5$ ，若以 $M F$ 为直径的圆过点（ 0,2 ），则 $C$ 的方程为

5、抛物线 $y^{2}=8 x$ 的焦点到直线 $x-\sqrt{3} y=0$ 的距离是

8．（5分） O 为坐标原点， F 为抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=4 \sqrt{2} \mathrm{x}$ 的焦点， P 为 C 上一点，若 $|\mathrm{PF}| =4 \sqrt{2}$ ，则 $\triangle P O F$ 的面积为（ ）

9．（5 分）若抛物线 $y^{2}=2 p x$ 的焦点坐标为 $(1,0)$ ，则 $p=$ $\_\_\_\_$ 2 ；准线方程为 $x=-1$ ．

12．（5 分）在直角坐标系 $x O y$ 中．直线 $l$ 过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点 $F$ ．且与该抛物线相交于 $A$ 、 $B$ 两点．其中点 $A$ 在 $x$ 轴上方．若直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ ．则 $\triangle$ OAF 的面积为 $\_\_\_\_$ $\sqrt{3}$ ．

11．已知抛物线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=8 t^{2}, \\ y=8 t .\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）若斜率为 1 的

直线经过抛物线 $C$ 的焦点，且与圆 $(x-4)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切，则 $r=$ $\_\_\_\_$。

2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为 $x=-2$ ，则抛物线的方程是

3．（5分）（2011•辽宁）已知 $F$ 是抛物线 $y^{2}=x$ 的焦点，$A, B$ 是该抛物线上的两点，$|A F|+\mid B \mathrm{F} \mid=3$ ，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为（）

14．过抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 $A, B$ 两点，$A, B$在 $x$ 轴上的正射影分别为 $D, C$ 。若梯形 $A B C D$ 的面积为 $12 \sqrt{2}$ ，则 $p=$ $\_\_\_\_$ ．

15．（5分）已知抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px} ~(\mathrm{p}>0) ~$ 的准线，过 $\mathrm{M}(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与 $I$ 相交于 $A$ ，与 $C$ 的一个交点为 $B$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，则 $p=$

15．（5分）已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x ~(p>0) ~$ 的准线，过 $M(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与 $I$ 相交于 $A$ ，与 $C$ 的一个交点为 $B$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，则 $p=$ $\_\_\_\_$ 2。

(7)设抛物线$y 2=8x$的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如
果直线AF的斜率为 - 3,那么|$PF|=$

10．已知点 $P$ 是抛物线 $y^{2}=2 x$ 上的一个动点，则点 $P$ 到点 $(0,2)$ 的距离与 $P$ 到该抛物线准线的距离之和的最小值为

11．已知点 $P$ 在抛物线 $y^{2}=4 x$ 上，那么点 $P$ 到点 $Q(2,-1)$ 的距离与点 $P$ 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 $P$ 的坐标为

14．（5分）已知抛物线 $y=a x^{2}-1$ 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 $\_\_\_\_$ 2 ．