组合　·　历年高考数学真题与解析

4．某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各 2 名。从这 4 名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，则这 2 名学生来自不同年级的概率为（ ）

13．从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 $\_\_\_\_$。

5．从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（ ）

10．某人某天需要运动总时长大于等于 60 分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 $\_\_\_\_$ 23种。

【思路分析】由题意知至少要选 2 种运动，并且选 2 种运动的情况中，$A B , D B , E B$ 的组合不符合题意，由此求出结果。

6．将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）

3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有

15．（5分）从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选 ，则不同的选法共有 $\_\_\_\_$ 16种．（用数字填写答案）

16．（4分）从1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 $0,2,4,6$ 中任取 2 个数字，一共可以组成 $\_\_\_\_$ 1260个没有重复数字的四位数。（用数字作答）

6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为
$\_\_\_\_$
Δ ．

16．（4分）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 660 种不同的选法。（用数字作答）

11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 $\_\_\_\_$。

10.

在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 $\_\_\_\_$ （结果用数值表示）。

12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 $1,2,3,4,5$ 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金（单位：元）。若随机变量 $\xi_{1}$和 $\xi_{2}$ 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 $\mathrm{E} \xi_{1}-\mathrm{E} \xi_{2}=$ $\_\_\_\_$ （元）．

12．从字母 $a, b, c, d, e$ 中任取两个不同字母，则取字母 $a$ 的概率为 $\_\_\_\_$ ．

13．若曲线 $y=e^{-x}$ 上点 $P$ 处的切线平行于直线 $2 x+y+1=0$ ，则点 $P$ 的坐标是 $\_\_\_\_$ ．

5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）

7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有

19．（本题满分 12 分）在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B=A C=A A_{1}=\sqrt{5}, B C=4$ ，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的投影是线段 $B C$ 的中点 $O$ 。

（1）证明在侧棱 $\mathrm{AA}_{1}$ 上存在一点 E ，使得 $\mathrm{OE} \perp$ 平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ ，并求出 AE 的长；
（2）求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 ${B B_{1}} C_{1} C$ 夹角的余弦值。

2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ）

6．若从 $1,2,3, \cdots, 9$ 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有

7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）

15．（5分）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门

，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 $\_\_\_\_$ 30

种．（用数字作答）

10．（5分）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1

门相同的选法有

10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有 1门相同的选法有

13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4:1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本. 已知B层中甲、乙都被抽到的概率为 $\dfrac{1}{28}$，则总体中的个体数为___.

（15） 7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有 $\_\_\_\_$种（用数字作答）。

14．（5分）从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 $\_\_\_\_$ 420种（用数字作答）

（4）在 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数是

9．甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有