2009 全国 II 卷（旧） · 理 数学

（5分）$\frac{10 i}{2-i}=$

（5分）设集合 $A=\{x| | x \mid>3\}, B=\left\{x \left\lvert\, \frac{x-1}{x-4}<0\right.\right\}$ ，则 $A \cap B=$

（5分）已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\cot \mathrm{A}=-\frac{12}{5}$ ，则 $\cos \mathrm{A}=$（ ）

（5分）函数 $y=\frac{x}{2 x-1}$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为（ ）

（5分）已知正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B$ ，$E$ 为 $A A_{1}$ 中点，则异面直线 BE 与 $\mathrm{CD}_{1}$ 所形成角的余弦值为（ ）

（5分）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}=(2,1), \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=10,|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|=5 \sqrt{2}$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=$（ ）

（5分）设 $\mathrm{a}=\log _{3} \pi, \mathrm{~b}=\log _{2} \sqrt{3}, \mathrm{c}=\log _{3} \sqrt{2}$ ，则（）

（5分）若将函数 $\mathrm{y}=\tan \left(\omega \mathrm{x}+\frac{\pi}{4}\right) ~(\omega>0) ~$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度后，与函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象重合，则 $\omega$ 的最小值为（ ）

（5分）已知直线 $y=k(x+2)(k>0)$ 与抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 相交于 $A , B$ 两点，$F$为 C 的焦点，若 $|\mathrm{FA}|=2|\mathrm{FB}|$ ，则 $\mathrm{k}=$（ ）

（5分）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1

门相同的选法有

（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为F，过F且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交 C 于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，若 $\overrightarrow{\mathrm{AF}}=4 \overrightarrow{\mathrm{FB}}$ ，则 C 的离心率为

（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、
西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图
所示的平面图形，则标“△”的面的方位（　　）

（5分）$(x \sqrt{y}-y \sqrt{x})^{4}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 6 ．

（5分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5}=5 a_{3}$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{5}}=$ $\_\_\_\_$ 9 ．

（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截
球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于 ，则球O的表面积等于　8π　．

（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．

（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的
中点，DE⊥平面BCC1．

（Ⅰ）证明：$AB=AC$；
（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．

（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知$a1=1$，$Sn+1=4an+2$（n∈N*）．
（1）设$bn=an+1$﹣2an，证明数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．

（12分）设函数 $f(x)=x^{2}+a \ln (1+x)$ 有两个极值点 $x_{1} , x_{2}$ ，且 $x_{1}<x_{2}$ ， （I）求 a 的取值范围，并讨论 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调性；
（II）证明： $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)>\frac{1-2 \ln 2}{4}$ ．