2014 大纲卷 · 理 数学

（5分）设 $\mathrm{z}=\frac{10 \mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}$ ，则 z 的共轭复数为

（5分）设集合 $M=\left\{x \mid x^{2}-3 x-4<0\right\}, N=\{x \mid 0 \leq x \leq 5\}$ ，则 $M \cap N=$

（5分）设 $\mathrm{a}=\sin 33^{\circ}, \mathrm{b}=\cos 55^{\circ}, \mathrm{c}=\tan 35^{\circ}$ ，则（ ）

（5分）若向量 $\vec{a} , \vec{b}$ 满足：$|\vec{a}|=1,(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{a},(2 \vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}|=($

（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）

（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A , B$ 两点，若 $\triangle A F_{1} B$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的方程为

（5分）曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}-1}$ 在点 $(1,1)$ 处切线的斜率等于（ ）

（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4 ，底面边长为 2 ，则该球的表面积为

（5分）已知双曲线 $C$ 的离心率为 2 ，焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，点 $A$ 在 $C$ 上，若 $\left|F_{1} A\right|=2 \mid F { }_{2} A \mid$ ，则 $\cos \angle A F_{2} F_{1}=$

（5分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{4}=2, a_{5}=5$ ，则数列 $\left\{\operatorname{Ig} a_{n}\right\}$ 的前 8 项和等于

（5分）已知二面角 $\alpha-I-\beta$ 为 $60^{\circ}, A B \subset \alpha, A B \perp I, A$ 为垂足，$C D \subset \beta, C \in I$ ， $\angle A C D=135^{\circ}$ ，则异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

（5分）函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $x+y=0$ 对称，则 $y=f(x)$ 的反函数是（ ）

（5分）$\left(\frac{x}{\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{x}}\right)^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{2}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 70 －（用数字作答）

（5分）设 $x , y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y \geqslant 0 \\ x+2 y \leqslant 3 \\ x-2 y \leqslant 1\end{array}\right.$ 则 $z=x+4 y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 5 ．

（5分）直线 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 是圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 的两条切线，若 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 的交点为 $(1,3)$ ，则 $I_{1} { }_{1}$ 与 $\mathrm{I}_{2}$ 的夹角的正切值等于 $\_\_\_\_$ $\frac{4}{3}$。

（5分）若函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{a} \sin \mathrm{x}$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ 是减函数，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-\infty$ ，2］ ．

20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.
6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．

（ 12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0 ．
$6 , 0.5 , 0.5 , 0.4$ ，各人是否需使用设备相互独立．
（I）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；
（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望。