2009 全国 II 卷（旧） · 文 数学

（5分）已知全集 $\mathrm{U}=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}, \mathrm{M}=\{1,3,5,7\}, \mathrm{N}=\{5 , 6,7\}$ ，则 $\mathrm{C}_{\mathrm{U}}(\mathrm{MUN})=$

（5分）函数 $y=\sqrt{-x}(x \leq 0)$ 的反函数是

（5分）函数 $y=\log _{2} \frac{2-x}{2+x}$ 的图象（ ）

（5分）已知 $\triangle A B C$ 中， $\cot A=-\frac{12}{5}$ ，则 $\cos A=$（ ）

（5分）已知正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B$ ，$E$ 为 $A A_{1}$ 中点，则异面直线 BE 与 $\mathrm{CD}_{1}$ 所形成角的余弦值为（ ）

（5分）已知向量 $\vec{a}=(2,1), \vec{a} \cdot \vec{b}=10,|\vec{a}+\vec{b}|=5 \sqrt{2}$ ，则 $|\vec{b}|=$（ ）

（5分）设 $a=\lg e, b=(\lg e)^{2}, c=\lg \sqrt{e}$ ，则（ ）

（5分）双曲线 $\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的渐近线与圆 $(x-3)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切，则 $r=$

（5分）若将函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right) \quad(\omega>0)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度后，与函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象重合，则 $\omega$ 的最小值为（ ）

（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有 1门相同的选法有

（5分）已知直线 $y=k(x+2)(k>0)$ 与抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 相交于 $A , B$ 两点， $F$ 为 $C$ 的焦点，若 $|F A|=2|F B|$ ，则 $k=$（ ）

（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1}=1, S_{6}=4 S_{3}$ ，则 $a_{4}=$ $\_\_\_\_$ 3 ．

（5分）已知圆 $O: x^{2}+y^{2}=5$ 和点 $A(1,2)$ ，则过 $A$ 且与圆 $O$ 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积 $=$ $\_\_\_\_$ $\frac{25}{4}$ ．

（5分）设 OA 是球 O 的半径， M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 $45^{\circ}$ 角的平面截球 $O$ 的表面得到圆 $C$ ．若圆 $C$ 的面积等于 $\frac{7 \pi}{4}$ ，则球 $O$ 的表面积等于 $\_\_\_\_$ $8 \pi$。

（12分）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 10 名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核。
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（3）求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率．

（12分）设函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-(1+a) x^{2}+4 a x+24 a$ ，其中常数 $a>1$ ，
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）若当 $x \geq 0$ 时，$f(x)>0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．