裂项相消法　·　历年高考数学真题与解析

15．（5分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3}=3, S_{4}=10$ ，则 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{S_{k}}=-\frac{2 n}{\underline{n+1}}$－

17．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+3 a_{2}+\ldots+(2 n-1) a_{n}=2 n$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{{ }^{a} n}{2 n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

11．（5分）（2015•江苏）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1$ ，且 $a_{n+1}-a_{n}=n+1 \quad\left(n \in N^{*}\right)$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$的前 10 项的和为 $\_\_\_\_$。

17．（12分） $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 为数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和，已知 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}>0, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}{ }^{2}+2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=4 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}+3$
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式：
（II）设 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

3．执行如图所示的程序框图，如果输入 $n=3$，则输出的 $S=$

18．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等比数列，且 $a_{1}+a_{4}=9, a_{2} a_{3}=8$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

（II）设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$b_{n}=\frac{a_{n+1}}{S_{n} S_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

5、执行如图2所示的程序框图，如果输入 $\mathrm{n}=3$，中输入的 $\mathrm{S}=$

19．（本小题满分 14 分）

设各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}$ 满足 $S_{n}^{2}-\left(n^{2}+n-3\right) S_{n}-3\left(n^{2}+n\right)=0, n \in N^{*}$ ．
（1）求 $a_{1}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1}\left(a_{1}+1\right)}+\frac{1}{a_{2}\left(a_{2}+1\right)}+\cdots \frac{1}{a_{n}\left(a_{n}+1\right)}<\frac{1}{3}$ ．

（8）执行如图所示的程序框图，若输入 $n=8$，则输出的 $S=$

（8）执行如图所示的程序框图，若输入 $n=10$，则输出的 $S=$

5．（5分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{5}=5, S_{5}=15$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}\right\}$的前 100 项和为（ ）

20．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=0$ 且 $\frac{1}{1-a_{n+1}}-\frac{1}{1-a_{n}}=1$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{1-\sqrt{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}}}{\sqrt{\mathrm{n}}}$ ，记 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{b}_{\mathrm{k}}$ ，证明： $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}<1$ ．