数列的概念与简单表示法　·　历年高考数学真题与解析

8. 已知 $S _ { 2 n } - S _ { n } = n , a _ { 3 } = 6 ,$ 6,则 $a _ { 7 } + a _ { 8 } = ( \quad )$

4．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 $\left\{b_{n}\right\}: b_{1}=1+\frac{1}{\alpha_{1}}, \quad b_{2}=1+\frac{1}{\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}}}$ ，
$b_{3}=1+\frac{1}{\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}+\frac{1}{\alpha_{3}}}}, \cdots$ ，依此类推，其中 $\alpha_{k} \in \mathbf{N}^{*}(k=1,2, \cdots)$ 。则

16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为
$20 \mathrm{dm} \times 12 \mathrm{dm}$ 的长方形纸，对折1次共可以得到 $10 \mathrm{dm} \times 12 \mathrm{dm}, ~ 20 \mathrm{dm} \times 6 \mathrm{dm}$ 两种规格的图形，它们的面积之和 $S_{1}=240 \mathrm{dm}^{2}$ ，对折 2 次共可以得到 $5 \mathrm{dm} \times 12 \mathrm{dm}, ~ 10 \mathrm{dm} \times 6 \mathrm{dm}, ~ 20 \mathrm{dm} \times 3 \mathrm{dm}$ 三种规格的图形，它们的面积之和 $S_{2}=180 \mathrm{dm}^{2}$ ，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折 $n$ 次，那么 $\sum_{k=1}^{n} S_{k}= \mathrm{dm}^{2}$ ．

13．（6 分）（2016•浙江）设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，若 $\mathrm{S}_{2}=4, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=2 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}+1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，则 $\mathrm{a}_{1}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{S}_{5}=$ $\_\_\_\_$。

17．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+3 a_{2}+\ldots+(2 n-1) a_{n}=2 n$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{{ }^{a} n}{2 n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

11．无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 由 $k$ 个不同的数组成，$S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若对任意 $n \in \mathrm{~N}^{*}, S_{n} \in\{2,3\}$，则 $k$ 的最大值为

13．（6 分）（2016•浙江）设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，若 $\mathrm{S}_{2}=4, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=2 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}+1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，则 $\mathrm{a}_{1}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{S}_{5}=$ $\_\_\_\_$。

14．无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 由 $k$ 个不同的数组成，$S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若对任意 $n \hat{\imath} \mathbf{N}^{*}, S_{n} \hat{\imath}\{2,3\}$，则 $k$ 的最大值为 $\_\_\_\_$．

16．（5分）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{1-a_{n}}, a_{8}=2$ ，则 $a_{1}=$ $\_\_\_\_$ $\frac{1}{2}$ ．

20．（本小题满分 14 分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若动点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为椭圆外一点，且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程。

4．根据右边框图，对大于 2 的整数 $N$，得出数列的通项公式是
$A \cdot a_{n}=2 n$
$B . a_{n}=2(n-1)$
$C . a_{n}=2^{n}$
D．$a_{n}=2^{n-1}$

4．根据右边框图，对大于 2 的整数 $N$ ，得出数列的通项公式是
$A \cdot a_{n}=2 n$
$B . a_{n}=2(n-1)$
$C . a_{n}=2^{n}$
D．$a_{n}=2^{n-1}$

12．（5分）设 $\triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 的三边长分别为 $a_{n}, b_{n}, c_{n}, \triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 的面积为 $S_{n}, n=1$ ， 2，3．．．若 $b_{1}>c_{1}, b_{1}+c_{1}=2 a_{1}, a_{n+1}=a_{n}, b_{n+1}=\frac{c_{n}+a_{n}}{2}, c_{n+1}=\frac{b_{n}+a_{n}}{2}$ ，则（

（14）如图，互不相同的点 $A_{1}, A_{2}, \ldots A_{n} \ldots$ 和 $B_{1}, B_{2} \ldots B_{n} \ldots$ 分别在角 O 的两条边上，所有 $A_{n} B_{n}$相互平行，且所有梯形 $A_{n} B_{n} B_{n+1} A_{n+1}$ 的面积均相等．设 $O A_{n}=a_{n}$ 若 $a_{1}=1, a_{2}=2$ 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式是 $\_\_\_\_$．

第（1）题图

15．设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，$S_{n}=(-1)^{n} a_{n}-\frac{1}{2^{n}}, n \in N^{*}$，则
①$a_{3}=$ $\_\_\_\_$；
②$S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{100}=$ $\_\_\_\_$。

11．某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为
$29^{\circ} \mathrm{C}$ ： $63^{\circ} \mathrm{C}$ ，精确度要求 $\pm 1^{\circ} \mathrm{C}$ ．用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为 $\_\_\_\_$ ．

16．对于 $n \hat{i} \mathrm{~N}^{*}$ ，将 $n$ 表示为 $n=a_{k}^{\prime} 2^{k}+a_{k-1}^{\prime} 2^{k-1}+\mathrm{L}+a_{1}^{\prime} 2^{1}+a_{0}^{\prime} 2^{0}$ ，当 $i=k$ 时，$a_{i}=1$ ，当 $0 £ i £ k-1$ 时，$a_{i}$ 为 0 或 1 ．定义 $b_{n}$ 如下：在 $n$ 的上述表示中，当 $a_{0}, a_{1}, a_{2} \mathrm{~L}, a_{k}$ 中等于 1 的个数为奇数时，$b_{n}=1$ ；否则 $b_{n}=0$ ．
①$b_{2}+b_{4}+b_{6}+b_{8}=$ $\_\_\_\_$ ；
（2）记 $c_{m}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 中第 $m$ 个为 0 的项与第 $m+1$ 个为 0 的项之间的项数，则 $c_{m}$ 的最大值是 $\_\_\_\_$。

17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数 $1,3,6,10, \cdots$ 记为数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ ，可以推测：

（I） $\mathrm{b}_{2012}$ 是数列 $\{\mathrm{an}\}$ 中的第 $\_\_\_\_$项；
（II） $\mathrm{b}_{2 \mathrm{k}-1}=$ $\_\_\_\_$。（用 k 表示）

18．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}=\frac{n+2}{3} a_{n}$
（1）求 $a_{2}, a_{3}$ ；

（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

9.对于数列na，“ 1( 1 ...)n na a n+> ，2，”是“na为递增数列”的【B】

20．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．已知 $a_{1}=a, a_{n+1}=S_{n}+3^{n}, n \in N^{*}$ ．
（I）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{S}_{\mathrm{n}}-3^{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）若 $a_{n+1} \geq a_{n}, n \in N^{*}$ ，求 $a$ 的取值范围．