2017 新课标 III 卷 数学

（5分）已知集合 $A = \{ ( x , y ) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 \}$ ${ \sf B } = \{ \begin{array} { c c } { ( { \sf x } , \ { \sf y } ) } \end{array} | { \sf y } = { \sf x } \}$ ，则 $\mathsf { A } \cap \mathsf { B } ^ { \mathsf { I } }$ 中元素 的个数为（　　）

（5分）设复数z满足 $( 1 + \mathsf { i } ) 2 = 2 \mathsf { i }$ ，则|z|=（　　） A $\frac { 1 } { 2 }$ B $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ C $\sqrt { 2 }$ D．2

（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图

根据该折线图，下列结论错误的是（　　）

（5分）（x+y）（2x﹣y）⁵的展开式中的 $| \mathsf { x } ^ { 3 } \mathsf { y } ^ { 3 }$ 系数为（　　）

（5分）已知双曲线C： $\frac { \ b { x } ^ { 2 } } { \ b { a } ^ { 2 } } - \frac { \ b { y } ^ { 2 } } { \ b { b } ^ { 2 } } = 1 ( \ b { a } > 0 , \ b > 0 )$ 的一条渐近线方程为 $y =$ ${ \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } } \times$ ，且与椭圆 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 1 2 } + \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 3 } = 1$ 有公共焦点，则C的方程为（　　）A $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 8 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 1 0 } = 1$ B $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 5 } = 1$ C $\frac { x ^ { 2 } } { 5 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ D． $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 3 } = 1$

（5分）设函数f $( x ) = \cos ( x + \frac { \pi } { 3 } )$ ，则下列结论错误的是（

（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　）

（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）A．π B $\frac { 3 \pi } { 4 }$ C $\frac { \pi } { 2 }$ D $\frac { \pi } { 4 }$

（5分）等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的首项为1，公差不为0．若a₂， $\mathtt { a } _ { 3 }$ ， $\mathsf { a } _ { 6 } ,$ 成等比数列，则$\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 前6项的和为（　　）

（5分）已知椭圆C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的左、右顶点分别为 $| \mathsf { A } _ { 1 } , \mathsf { A } _ { 2 }$ 且以线段 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { A } _ { 2 }$ 为直径的圆与直线 ${ \mathsf { b } } { \mathsf { x } } - { \mathsf { a } } { \mathsf { y } } ^ { + } 2 { \mathsf { a } } { \mathsf { b } } { = } 0$ 相切，则C的离心率为（ ）A $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$ B $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ C $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$ D $\frac 1 3$

（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 $\overrightarrow { A P } = \lambda \overrightarrow { A B } + \mu \overrightarrow { A D } ,$ ，则 $\lambda ^ { + } \mu$ 的最大值为（　　）A．3 B $2 \sqrt { 2 }$ C $\sqrt { 5 }$ D．2

（5分）若$x$，$y$满足约束条件$\begin{cases}x-y\geqslant0\\x+y-2\leqslant0\\y\geqslant0\end{cases}$，则$z=3x-4y$的最小值为____．

（5分）设等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $\mathsf { a } _ { 1 } + \mathsf { a } _ { 2 } \mathsf { = } - \ 1$ $\mathsf { a } _ { 1 } - \mathsf { a } _ { 3 } \mathsf { = } - \mathsf { \Omega } 3$ ，则 $a _ { 4 } = - 8$

（5分）设函数f $( \mathsf { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathsf { x } + 1 , } & { \mathsf { x } \leqslant 0 } \\ { 2 ^ { \mathsf { x } } , } & { \mathsf { x } > 0 } \end{array} \right.$ ，则满足f $( \mathsf { x } ) + \mathsf { f } ( \mathsf { x } - \frac { 1 } { 2 } ) > 1$ 的x的取 值范围是 $( \frac { 1 } { 4 } , + \infty )$

（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成 $6 0 ^ { \circ }$ 角时，AB与b成 $30 ^ { \circ }$ 角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成 $\overline { { 6 0 } } ^ { \circ }$ 角；

③直线AB与a所成角的最小值为 $4 5 ^ { \circ }$ ；

④直线AB与a所成角的最小值为 $1 6 0 ^ { \circ }$ ；

其中正确的是　②③　．（填写所有正确结论的编号）

（12分） $\Delta A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sin A + \sqrt { 3 } \cos A = 0$ $a = 2 \sqrt { 7 } , b = 2$

（1）求c；

②设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求 $\triangle \mathsf { A B D }$ 的面积

（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，$\angle A B D = \angle C B D , A B = B D$

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值

（12分）已知抛物线C： $y ^ { 2 } = 2 x$ ，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

②设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程

（12分）已知函数f $( \mathsf { x } ) = \mathsf { x } - 1 - \mathsf { a l n } \mathsf { x }$

（1）若f $( \mathsf { x } ) \geq 0$ ，求a的值；

②设m为整数，且对于任意正整数n， $( 1 + \frac { 1 } { 2 } ) ( 1 + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } ) \ldots ( 1 + \frac { 1 } { 2 ^ { n } } ) < m .$ 求m的最小值