2022 全国乙卷 数学

设全集 $U = \{1,2,3,4,5\}$ ，集合 $M$ 满足 $\check{\mathfrak{Q}}_U M = \{1,3\}$ ，则（）

已知 $z = 1 - 2i$ ，且 $z + a\overline{z} + b = 0$ ，其中 $a, b$ 为实数，则（）

已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = \sqrt{3}, |\vec{a} - 2\vec{b}| = 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = (\quad)$

嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 $\{b_{n}\}$ ： $b_{1} = 1 + \frac{1}{\alpha_{1}}$ ， $b_{2} = 1 + \frac{1}{\alpha_{1} + \frac{1}{\alpha_{2}}}$ ， $b_{3} = 1 + \frac{1}{\alpha_{1} + \frac{1}{\alpha_{2} + \frac{1}{\alpha_{3}}}}$ ，…，依此类推，其中 $\alpha_{k} \in \mathbf{N}^{*}(k = 1,2,\dots)$ 。则（ ）

设 $F$ 为抛物线 $C: y^{2} = 4x$ 的焦点，点 $A$ 在 $C$ 上，点 $B(3,0)$ ，若 $\left|AF\right| = \left|BF\right|$ ，则 $\left|AB\right| = (\quad)$

执行下边的程序框图，输出的 $n =$ （ ）

在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $E, F$ 分别为 $AB, BC$ 的中点, 则 ( )

已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 3 项和为 168, $a_{2} - a_{5} = 42$ , 则 $a_{6} =$ ( )

已知球 $O$ 的半径为 1, 四棱锥的顶点为 $O$ , 底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上, 则当该四棱锥的体积最大时, 其高为 ( )

某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立。已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 $p_1, p_2, p_3$ ，且 $p_3 > p_2 > p_1 > 0$ 。记该棋手连胜两盘的概率为 $p$ ，则（）

双曲线 $C$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ , 以 $C$ 的实轴为直径的圆记为 $D$ , 过 $F_{1}$ 作 $D$ 的切线与 $C$ 交于 $M$ , $N$ 两点, 且 $\cos \angle F_{1}NF_{2} = \frac{3}{5}$ , 则 $C$ 的离心率为 ( )

已知函数 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$ ，且 $f(x) + g(2 - x) = 5, g(x) - f(x - 4) = 7$ 。若 $y = g(x)$ 的图像关于直线 $x = 2$ 对称， $g(2) = 4$ ，则 $\sum_{k=1}^{22} f(k) = (\quad)$

从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 $\_\_\_\_$。

过四点 $(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)$ 中的三点的一个圆的方程为 \_\_\_\_.

记函数 $f(x) = \cos (\omega x + \varphi)(\omega > 0, 0 < \varphi < \pi)$ 的最小正周期为 $T$ ，若 $f(T) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x = \frac{\pi}{9}$ 为 $f(x)$ 的零点，则 $\omega$ 的最小值为 \_\_\_\_.

已知 $x = x_{1}$ 和 $x = x_{2}$ 分别是函数 $f(x) = 2a^{x} - \mathrm{e}x^{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的极小值点和极大值点．若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是 \_\_\_\_.

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin C \sin (A - B) = \sin B \sin (C - A)$ .

（1）证明： $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ;

(2) 若 $a = 5, \cos A = \frac{25}{31}$ ，求 $\triangle ABC$ 的周长.

如图，四面体 ABCD 中， $AD \perp CD, AD = CD, \angle ADB = \angle BDC$ ，E 为 AC 的中点.

（1）证明：平面 $BED \perp$ 平面 ACD；

（2）设 $AB = BD = 2, \angle ACB = 60^{\circ}$ ，点 $F$ 在 $BD$ 上，当 $\triangle AFC$ 的面积最小时，求 $CF$ 与平面 $ABD$ 所成的角的正弦值.

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： $m^{2}$ ）和材积量（单位： $m^{3}$ ），得到如下数据：

<table><tr><td>样本号i</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>总和</td></tr><tr><td>根部横截面积 $x_{i}$ </td><td>0.04</td><td>0.06</td><td>0.04</td><td>0.08</td><td>0.08</td><td>0.05</td><td>0.05</td><td>0.07</td><td>0.07</td><td>0.06</td><td>0.6</td></tr><tr><td>材积量 $y_{i}$ </td><td>0.25</td><td>0.40</td><td>0.22</td><td>0.54</td><td>0.51</td><td>0.34</td><td>0.36</td><td>0.46</td><td>0.42</td><td>0.40</td><td>3.9</td></tr></table>

并计算得 $\sum_{\mathrm{i} = 1}^{10}x_{\mathrm{i}}^{2} = 0.038,\sum_{\mathrm{i} = 1}^{10}y_{\mathrm{i}}^{2} = 1.6158,\sum_{\mathrm{i} = 1}^{10}x_{\mathrm{i}}y_{\mathrm{i}} = 0.2474.$

(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;

(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01）;

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 $186\mathrm{m}^2$ 。已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比。利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值。

附：相关系数 $r = \frac{\sum_{\mathrm{i} = 1}^{n}(x_{\mathrm{i}} - \overline{x})(y_{\mathrm{i}} - \overline{y})}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i} = 1}^{n}(x_{\mathrm{i}} - \overline{x})^2\sum_{\mathrm{i} = 1}^{n}(y_{\mathrm{i}} - \overline{y})^2}},\sqrt{1.896}\approx 1.377.$

已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴，且过 $A(0, -2), B\left(\frac{3}{2}, -1\right)$ 两点.

(1) 求 E 的方程;

②设过点 $P(1, -2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $AB$ 交于点 $T$ ，点 $H$ 满足 $\overrightarrow{MT} = \overrightarrow{TH}$ ．证明：直线 $HN$ 过定点.

在直角坐标系 $xOy$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt{3} \cos 2t \\ y = 2 \sin t \end{array} \right.$ , ( $t$ 为参数), 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) + m = 0$ .

(1) 写出 l 的直角坐标方程;

(2) 若 l 与 C 有公共点，求 m 的取值范围.

已知 $a, b, c$ 都是正数，且 $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1$ ，证明：

① $abc \leq \frac{1}{9}$ ;

② $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \leq \frac{1}{2\sqrt{abc}};$