2022 全国乙卷 数学

集合 $M = \left\{ 2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 \right\}$ , $N = \left\{ x | - 1 < x < 6 \right\}$ ，则 $M \cap N =$ （ ）

设 $( 1 + 2 \mathrm { i } ) a + b = 2 \mathrm { i }$ ，其中a b, 为实数，则（ ）

已知向量 $\stackrel { } { a } = ( 2 , 1 ) , \stackrel { } { b } = ( - 2 , 4 )$ ，则 $\left| { \overset { \underset { \mathrm { I } } { } } { a } } - { \overset { \underset { \mathrm { I } } { } } { b } } \right|$ （ ）

分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：

<table><tr><td colspan="4">甲</td><td></td><td colspan="8">乙</td></tr><tr><td></td><td></td><td>6</td><td>1</td><td>5.</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>8</td><td>5</td><td>3</td><td>0</td><td>6.</td><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>7</td><td>5</td><td>3</td><td>2</td><td>7.</td><td>4</td><td>6</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>6</td><td>4</td><td>2</td><td>1</td><td>8.</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>5</td><td>6</td><td>6</td><td>6</td><td>6</td></tr><tr><td></td><td></td><td>4</td><td>2</td><td>9.</td><td>0</td><td>2</td><td>3</td><td>8</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>10.</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

则下列结论中错误的是（ ）A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C. 甲同学周课外体育运动时长大于 8的概率的估计值大于0.4D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

若x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { x + y \geq 2 , } \\ { x + 2 y \leq 4 } \\ { y \geq 0 , } \end{array} \right.$ , 则 $z = 2 x - y$ 的最大值是（ ）

设F为抛物线 $C : y ^ { 2 } = 4 x$ 的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若 $\left| A F \right| = \left| B F \right|$ ，则 AB = （ ）

执行下边的程序框图，输出的$n =$（ ）

如图是下列四个函数中的某个函数在区间[ 3,3]- 的大致图像，则该函数是（ ）

在正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，E，F分别为AB BC, 的中点，则（ ）

已知等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前3项和为168， $a _ { 2 } - a _ { 5 } = 4 2$ ，则 $a _ { 6 } = ~ ( ~ )$

函数 $f ( x ) = \cos x + ( x + 1 ) \sin x + 1$ 在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为（）

已知球 $O$ 的半径为 1，四棱锥的顶点为 $O$，底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（　　）

记 $S _ { n }$ 为等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和．若 $2 S _ { 3 } = 3 S _ { 2 } + 6$ ，则公差d =

从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

若 $f { \big ( } x { \big ) } = \ln \left| a + { \frac { 1 } { 1 - x } } \right| + b$ 是奇函数，则 a = \_\_\_\_\_，b = 【答案】 ①. $- { \frac { 1 } { 2 } }$ ②. ln 2

记 $\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 $\sin C \sin \left( A - B \right) = \sin B \sin \left( C - A \right)$

（1）若 $A = 2 B$ ，求 C；

（2）证明： $2 a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 }$

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： $\mathrm { m } ^ { 2 }$ ）和材积量（单位： $\mathbf { m } ^ { 3 } \mathbf { \ell }$ ），得到如下数据：

<table><tr><td>样本号i</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>总和</td></tr><tr><td>根部横截面积 $x_{i}$ </td><td>0.04</td><td>0.06</td><td>0.04</td><td>0.08</td><td>0.08</td><td>0.05</td><td>0.05</td><td>0.07</td><td>0.07</td><td>0.06</td><td>0.6</td></tr><tr><td>材积量 $y_{i}$ </td><td>0.25</td><td>0.40</td><td>0.22</td><td>0.54</td><td>0.51</td><td>0.34</td><td>0.36</td><td>0.46</td><td>0.42</td><td>0.40</td><td>3.9</td></tr></table>

并计算得 $\sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { 1 0 } x _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } = 0 . 0 3 8 , \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { 1 0 } y _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } = 1 . 6 1 5 8 , \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { 1 0 } x _ { \mathrm { i } } y _ { \mathrm { i } } = 0 . 2 4 7 4$

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为

$1 8 6 \mathrm m ^ { 2 }$ ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量

的估计值

附：相关系数 $r = { \frac { \displaystyle \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { n } ( x _ { \mathrm { i } } - { \overline { { x } } } ) ( y _ { \mathrm { i } } - { \overline { { y } } } ) } { \sqrt { \displaystyle \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { n } ( x _ { \mathrm { i } } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { n } ( y _ { \mathrm { i } } - { \overline { { y } } } ) ^ { 2 } } } } , { \sqrt { 1 . 8 9 6 } } \approx 1 . 3 7 7$

已知函数 $f ( x ) = a x - { \frac { 1 } { x } } - ( a + 1 ) \ln x$

（1）当a =0时，求f x( )的最大值；

（2）若f x( ) 恰有一个零点，求a的取值范围

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l } { x = \sqrt { 3 } \cos 2 t } \\ { y = 2 \sin t } \end{array} \right.$ ，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 $\rho \mathrm { s i n } \bigg ( \theta + \frac { \pi } { 3 } \bigg ) + m = 0$

（1）写出l的直角坐标方程；

（2）若l与C有公共点，求m 的取值范围

已知a，b，c都是正数，且 $a ^ { \frac { 3 } { 2 } } + b ^ { \frac { 3 } { 2 } } + c ^ { \frac { 3 } { 2 } } = 1$ ，证明：

① $a b c \leq \frac { 1 } { 9 }$ ；

② ${ \frac { a } { b + c } } + { \frac { b } { a + c } } + { \frac { c } { a + b } } \leq { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { a b c } } } } ;$