2022 全国甲卷 数学

设集合 { 2, 1,0,1,2},A = - - $B = \left\{ x | 0 \leq x < \frac { 5 } { 2 } \right\}$ ，则 $A \cap B =$ （ ）

某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（ ）

如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）

将函数 $f ( x ) = \sin \left( \omega x + \frac { \pi } { 3 } \right) ( \omega > 0 )$ 的图像向左平移 $\frac { \pi } { 2 }$ 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则w的最小值是（ ）

从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）

函数 $y = \left( 3 ^ { x } - 3 ^ { - x } \right) \cos x$ 在区间 $\left[ - { \frac { \pi } { 2 } } , { \frac { \pi } { 2 } } \right]$ 的图象大致为（ ）

当 $x = 1$ 时，函数 $f ( x ) = a \ln x + { \frac { b } { x } }$ 取得最大值-2，则f¢(2) =（ ）

甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 $2 \pi$ ，侧面积分别为 $S _ { \mathbb { H } }$ 和 $S _ { \mathrm { { Z } } }$ ，体积分别为 $V _ { \mathbb { H } }$ 和 $V _ { Z }$ ．若 $\frac { S _ { \scriptscriptstyle \mathbb { H } } } { S _ { \scriptscriptstyle \ Z } } = 2$ ，则 $\frac { V _ { \oplus } } { V _ { \ Z } } =$ （ ）

已知椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的离心率为 $\frac 1 3$ ， A , $A _ { 2 }$ 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 $\overrightarrow { B A _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { B A _ { 2 } } = - 1$ ，则C的方程为（ ）

已知 $9 ^ { m } = 1 0 , a = 1 0 ^ { m } - 1 1 , b = 8 ^ { m } - 9$ ，则（ ）

已知向量 $\vec { a } = ( m , 3 ) , \vec { b } = ( 1 , m + 1 )$ ．若 $\vec { a } \perp \vec { b }$ ，则m =

【答案 $1 ~ { - } \frac { 3 } { 4 } { \# } { \# } { - } 0 . 7 5$

设点 $M$ 在直线 $2x + y - 1 = 0$ 上，点 $(3,0)$ 和 $(0,1)$ 均在 $\odot M$ 上，则 $\odot M$ 的方程为 ____________．

记双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的离心率为e，写出满足条件“直线 $y = 2 x$ 与C无公共点”的e的一个值

已知 $\triangle A B C$ 中，点D 在边BC上， $\angle A D B = 1 2 0 ^ { \circ } , A D = 2 , C D = 2 B D$ ．当 $\frac { A C } { A B }$ 取得最小值时，$B D =$

甲、乙两城之间 长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机的调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

<table><tr><td></td><td>准点班次数</td><td>未准点班次数</td></tr><tr><td>A</td><td>240</td><td>20</td></tr><tr><td>B</td><td>210</td><td>30</td></tr></table>

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

附： $K ^ { 2 } = \frac { n ( a d - b c ) ^ { 2 } } { ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) }$

<table><tr><td> $P(K^{2}...k)$ </td><td>0.100</td><td>0.050</td><td>0.010</td></tr><tr><td>k</td><td>2.706</td><td>3.841</td><td>6.635</td></tr></table>

记 $S _ { n }$ 为数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和．已知 ${ \frac { 2 S _ { n } } { n } } + n = 2 a _ { n } + 1$

（1）证明： $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列；

（2）若 $a _ { 4 } , a _ { 7 } , a _ { 9 }$ 成等比数列，求 $S _ { n }$ 的最小值

小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm ）的正方形， $\triangle E A B , \triangle F B C , \triangle G C D , \triangle H D A$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直

（1）证明： $E F / /$ 平面 $A B C D$ ；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）

已知函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } - x , g ( x ) = x ^ { 2 } + a$ ，曲线 $y = f ( x )$ 在点 $\left( x _ { 1 } , f \left( x _ { 1 } \right) \right)$ 处的切线也是曲线 $y = g ( x )$ 的切线

（1）若 $x _ { \mathrm { 1 } } = - 1$ ，求 a；

（2）求a的取值范围

设抛物线 $C : y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 的焦点为F，点 $D \left( p , 0 \right)$ ，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， $\left| M F \right| = 3$

（1）求 C 的方程；

②设直线MD ND , 与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN AB, 的倾斜角分别为 $\alpha , \beta$ ．当 $\alpha - \beta$ 取得最大值时，求直线AB的方程