2023 全国甲卷 数学

若复数 ${ \big ( } a + \mathrm { i } { \big ) } { \big ( } 1 - a \mathrm { i } { \big ) } = 2 , a \in \mathrm { R }$ ，则a =（ ）

执行下面的程序框遇，输出的$B =$（ ）

向量 $\scriptstyle | { \vec { a } } | = { \vec { b } } | = 1 , | { \vec { c } } | = { \sqrt { 2 } }$ ，且 $\vec { a } + \vec { b } + \vec { c } = \vec { 0 }$ ，则 $\cos \langle \vec { a } - \vec { c } , \vec { b } - \vec { c } \rangle =$ （ ）

已知正项等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中， $a _ { 1 } = 1 , S _ { n }$ 为 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 前 n 项和， $S _ { 5 } = 5 S _ { 3 } - 4$ ，则 $S _ { 4 } = ~ ( ~ )$

有 50 人报名足球俱乐部，60 人报名乒乓球俱乐部，70 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）

${ ^ { * } \sin ^ { 2 } \alpha } + \sin ^ { 2 } \beta = 1 ^ { , }$ 是 $\begin{array}{c} \because \sin \alpha + \cos \beta = 0 \end{array} ,$ ”的（ ）

已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的离心率为 $\sqrt { 5 }$ ，其中一条渐近线与圆 $( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 3 ) ^ { 2 } = 1$ 交于A，B 两点，则| |AB =（ ）

有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为（ ）

已知 f (x) 为函数 $y = \cos ( 2 x + \frac { \pi } { 6 } )$ 向左平移 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位所得函数，则 y = f(x)与 $y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 }$ 的交点个数为（ ）

A. 1

在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为正方形， $A B = 4 , P C = P D = 3 , \angle P C A = 4 5 ^ { \circ }$ ，则 $\triangle \mathrm { P B C }$ 的面积为（ ）

己知椭圆 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 9 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 6 } } = 1 , F _ { 1 } , F _ { 2 }$ 为两个焦点，O 为原点，P为椭圆上一点， $\cos \angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = \frac { 3 } { 5 }$ ，则 $\mid P O \mid =$ （ ）

若 $y = ( x - 1 ) ^ { 2 } + a x + \sin ( x + { \frac { \pi } { 2 } } )$ 为偶函数，则a =

设x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { - 2 x + 3 y \leq 3 } \\ { 3 x - 2 y \leq 3 } \\ { x + y \geq 1 } \end{array} \right.$ ，设 $z = 3 x + 2 y$ ，则z的最大值为

在正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，E，F分别为 CD， $A _ { 1 } B _ { 1 }$ 的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为

在 $\triangle A B C$ 中， $A B = 2$ $\angle B A C = 6 0 ^ { \circ } , B C = { \sqrt { 6 } }$ ，D 为 BC 上一点，AD 为 $\angle B A C$ 的平分线，则$A D =$

在三棱柱 $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 中， $A A _ { 1 } = 2$ $A _ { 1 } C \perp$ 底面 ABC， $\angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$ $A _ { 1 }$ 到平面 $B C C _ { 1 } B _ { 1 }$ 的距离为1

（1）求证： $A C = A _ { 1 } C$

（2）若直线 $A A _ { 1 }$ $B B _ { 1 }$ 距离为2，求 $A B _ { 1 }$ 与平面 $B C C _ { 1 } B _ { 1 }$ 所成角的正弦值

为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）

①设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；

（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0

（i）求40只小鼠体重的中位数 m，并完成下面2×2列联表：

<table><tr><td></td><td> $< m$ </td><td> $\geq m$ </td></tr><tr><td>对照组</td><td></td><td></td></tr><tr><td>实验组</td><td></td><td></td></tr></table>

（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用

参考数据：

<table><tr><td> $k_{0}$ </td><td>0.10</td><td>0.05</td><td>0.010</td></tr><tr><td> $P(k^{2} \geq k_{0})$ </td><td>2.706</td><td>3.841</td><td>6.635</td></tr></table>

已知直线 $x - 2 y + 1 = 0 \ .$ 抛物线 $C : y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 交于A B, 两点，且 $\mid A B \mid = 4 { \sqrt { 1 5 } }$

（1）求 p ；

②设C的焦点为F，M，N为C上两点， ${ \overrightarrow { M F } } \cdot { \overrightarrow { N F } } = 0$ ，求VMNF面积的最小值

已知 P(2,1) ，直线 $l : \left\{ { \begin{array} { r l } { x = 2 + t \cos \alpha } & { { } } \\ { y = 1 + t \sin \alpha } & { { } } \end{array} } \right.$ （t为参数），a为l的倾斜角，l与x轴，y轴正半轴交于A，B两点， $\mid P A \mid \cdot \mid P B \mid = 4$

（1）求a的值；

（2）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程

已知 $f ( x ) = 2 \left| x - a \right| - a , a > 0$

(1）求不等式 f(x)< x的解集；

（2）若曲线 $y = f ( x )$ 与坐标轴所围成的图形的面积为2，求a