2023 全国乙卷 数学

设 $z=\dfrac{2+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}^{2}+\mathrm{i}^{5}}$，则 $\overline{z}=$（　　）

设集合 $U=\mathbf{R}$，集合 $M=\{x\,|\,x<1\}$，$N=\{x\,|\,-1<x<2\}$，则 $\{x\,|\,x\geq2\}=$（　　）

如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）

已知 $f ( x ) = { \frac { x \mathbf { e } ^ { x } } { \mathbf { e } ^ { a x } - 1 } }$ 是偶函数，则a =（ ）

设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域 $\{ ( x , y ) | 1 \leq x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 4 \}$ 内随机取一点，记该点为A，则直线OA 的倾斜角不大于 $\frac { \pi } { 4 }$ 的概率为（ ）

已知函数 f x x( ) sin( )= +w _j 在区间 $\left( \frac { \pi } { 6 } , \frac { 2 \pi } { 3 } \right)$ 单调递增，直线 $x = \frac { \pi } { 6 }$ 和 $x = \frac { 2 \pi } { 3 }$ 为函数 y = f(x)的图像的两条对称轴，则 $f \left( - { \frac { 5 \pi } { 1 2 } } \right) =$ （ ）

甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 （ ）

已知圆锥PO 的底面半径为 $\sqrt { 3 }$ ，O 为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线， $\angle A O B = 1 2 0 ^ { \circ }$ ，若 $\triangle P A B$ 的面积等于 $\frac { 9 { \sqrt { 3 } } } { 4 }$ ，则该圆锥的体积为（ ）

已知 $\triangle A B C$ 为等腰直角三角形，AB为斜边， $\triangle A B D$ 为等边三角形，若二面角 $C - A B - D$ 为 $1 5 0 ^ { \circ }$ 则直线CD 与平面ABC所成角的正切值为（ ）

已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为 $\frac { 2 \pi } { 3 }$ ，集合 $S = \left\{ { \cos a _ { n } } { \big | } n \in \mathbf { N } ^ { * } \right\}$ ，若 $S = \left\{ a , b \right\}$ ，则 ab = （ ）

设A，B 为双曲线 $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$ 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）

已知eO的半径为1，直线PA与eO相切于点A，直线PB与eO交于B，C两点，D 为BC的中点，若 $\left| P O \right| = { \sqrt { 2 } }$ ，则 $\overrightarrow { P A } \cdot \overrightarrow { P D }$ 的最大值为（ ）

已知点 $A \left( 1 , { \sqrt { 5 } } \right)$ 在抛物线 $C \colon \ y ^ { 2 } = 2 p x$ 上，则A到C的准线的距离为

若x，y满足约束条件 $\left\{ { \begin{array} { l } { x - 3 y \leq - 1 } \\ { x + 2 y \leq 9 } \\ { 3 x + y \geq 7 } \end{array} } \right.$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为

已知 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等比数列， $a _ { 2 } a _ { 4 } a _ { 5 } = a _ { 3 } a _ { 6 } , a _ { 9 } a _ { 1 0 } = - 8$ ，则 $a _ { 7 } =$

某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 $x _ { i } , \ y _ { i } \ ( i = 1 , 2 , \cdots 1 0 \ )$ ），试验结果如下

<table><tr><td>试验序号i</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr><tr><td>伸缩率 $x_{i}$ </td><td>545</td><td>533</td><td>551</td><td>522</td><td>575</td><td>544</td><td>541</td><td>568</td><td>596</td><td>548</td></tr><tr><td>伸缩率 $y_{i}$ </td><td>536</td><td>527</td><td>543</td><td>530</td><td>560</td><td>533</td><td>522</td><td>550</td><td>576</td><td>536</td></tr></table>

记 $z _ { i } = x _ { i } - y _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdots , 1 0 )$ ，记 $z _ { 1 } , z _ { 2 } , . . . , z _ { 1 0 }$ 的样本平均数为z ，样本方差为 $s ^ { 2 }$ ，

（1）求 $\overline { { \boldsymbol { z } } } \ , \quad \boldsymbol { s } ^ { 2 }$

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果${ \overline { { z } } } \geq 2 { \sqrt { \frac { s ^ { 2 } } { 1 0 } } }$ ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.

在 ${ \triangle A B C }$ 中，已知 $\angle B A C = 1 2 0 ^ { \circ }$ ， AB = 2 ， $A C = 1$

（1）求 $\sin \angle A B C$ ；

（2）若D 为BC上一点，且 $\angle B A D = 9 0 ^ { \circ }$ ，求 $\triangle A D C$ 的面积.

如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B \bot B C$ ， AB = 2 ， $B C = 2 \sqrt { 2 }$ $P B = P C = \sqrt { 6 }$ ，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， $A D = { \sqrt { 5 } } D O$ ，点F在AC上， $B F \bot A O$

（1）证明：EF / / 平面ADO ；

（2）证明：平面 $A D O \perp$ 平面 $B E F ;$

（3）求二面角 $D - A O - C$ 的正弦值.

已知椭圆 $C$: $\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1\,(a>b>0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$，点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上.
（1）求 $C$ 的方程；

在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C _ { 1 }$ 的极坐标方程为 $\rho = 2 \sin \theta \left( \frac { \pi } { 4 } \leq \theta \leq \frac { \pi } { 2 } \right)$ ，曲线C₂： $\left\{ \begin{array} { l l } { x = 2 \cos \alpha } \\ { y = 2 \sin \alpha } \end{array} \right.$ （a为参数， $\frac { \pi } { 2 } < \alpha < \pi )$

（1）写出 $C _ { 1 }$ 的直角坐标方程；

（2）若直线 $y = x + m$ 既与C 没有公共点，也与 $C _ { 2 }$ 没有公共点，求m 的取值范围.