2026 北京卷 数学

已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 ( a > 0 )$ 的一条渐近线为 $y = { \frac { 2 } { 3 } } x$ ，则 $a =$

在 $( a - { \sqrt { x } } ) ^ { 7 }$ 的展开式中 $, x ^ { 2 }$ 的系数为280，则 $a =$

下列函数中,既是奇函数,又在其定义域内单调递增的是

已知向量a=(2,0)，b满足 $\left| { \vec { a } } - { \vec { b } } \right| = 2$ ，则 $\left| { \vec { b } } \right|$ 的最大值为A. B. C. D.

某校组织高一、高二年级学生分别前往甲、乙两地研学。记高一去甲、去乙的人数为p，q，高二去甲、去乙的人数为r,s。已知 $p + q > r + s$ 且 $p + r > q + s .$ 。下列关于人数的判断中一定正确的是

等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，满足 $S_6=6a_4+30$，且对任意 $n$ 有 $S_n\leqslant S_5$，则 $a_5$ 的一个可能取值为 ______.

声压级y(单位:dB的某刻度)与频率f(Hz)满足 $y = \log \left( 1 + { \frac { f } { 7 0 0 } } \right)$ 。若 $1 \mathrm { g } 2 \leqslant y < 3 \mathrm { l g } 2$ ,则f的取值范围为【答案】[700,4900)

三棱锥A-BCD中， $A D = A B = A C = 2 \sqrt { 2 } , B D = B C = 2 , D C = 2 \sqrt { 3 }$ ，则其底面BCD的面积为体积为

设c∈R，函数 $f ( x ) = | x ^ { 2 } - \cos x - c ^ { 2 } |$ 。给出下列四个论断：

①f(x)在(-1,1]上既有最小值又有最大值；

②当c=0时， $f ( x ) = 1$ 有3个解；

③当 $c = 1 , x \in ( 1 , 2 ]$ 时，f(x)有最大值；

④当 $c > 0$ 时，f(x)与y=c有4个交点。

其中正确论断的序号是

已知函数 $f ( x ) = 2 \mathrm { s i n } \omega x \mathrm { c o s } \varphi + 2 \mathrm { c o s } \omega x \mathrm { s i n } \varphi \big ( \omega > 0 , 0 < \varphi < \frac { \pi } { 2 } \big )$ 的最小正周期为π，且 $f { \bigl ( } { \frac { \pi } { 4 } } { \bigr ) } = 1$

(I)求ω，φ的值；

(II)求f(x) 的单调递减区间.

如图，直三棱柱 $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 中， $\angle B A C = 9 0 ^ { \circ } , A B = A C = 2 , B B _ { 1 } = \sqrt { 2 } , E , D$ 分别为 $A _ { 1 } B _ { 1 } , A C$ 的中点。(I) 求证: $D E / /$ 平面 $B B _ { 1 } C _ { 1 } C ;$

(II) 点P在平面 $A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 内，且 $E P / / B _ { 1 } C _ { 1 }$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得P唯一 确定，求平面PAD与平面PDE的夹角的余弦值。

① $P A = P D ; \textcircled { 2 } P A \perp B C ; \textcircled { 3 } B B _ { 1 } / /$ 平面PDE。

(注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分。).

已知椭圆 $E : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的一个顶点是(2,0)，离心率为 $\textstyle { \frac { 1 } { 2 } }$

(I) 求E的方程;

(II)过点A(1,1)作斜率为k(k≠±1)的直线交E于B,C两点。设D为B关于直线 $y = x$ 的对称点，直线DC交y=x于点Q。若 $| S _ { \Delta i B Q } - S _ { \Delta i C Q } | = \frac { 5 } { 8 }$ ,求k的值.