2026 地方卷 数学

$\left(1-3\mathrm{i}\right)^{2}=$（　　）

已知向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 满足 $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=1$，$\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=\sqrt{3}$，则 $\vec{a}\cdot\vec{b}=$（　　）

已知集合 $A=\{0,1,3,6,9\}$，$B=\left\{x\,\middle|\,\sqrt{x}=x\right\}$，则 $A\cap B=$（　　）

已知棱台上下底面均为有一个角是 $6 0 ^ { \circ }$ 的菱形，且上下底面边长分别为2和3，若该棱台的高为 $\sqrt { 3 }$ ，则该棱台的体积为（ )

现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（ )

已知α为第二象限角，且 $3 \sin 2 \alpha \cos \alpha = 8 \sin \alpha \cos 2 \alpha$ ，则 $\frac { 1 + \sin \alpha } { 2 - \cos \alpha } =$

已知球O的体积为 $V _ { 0 } = 4 \sqrt { 3 } \pi$ ，点A，B，C，D均在球表面上，若 $\triangle A B C$ 为正三角形，且$D A = D B = D C = { \sqrt { 2 } }$ ，则 $S _ { \triangle A B C } =$

（13分）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图：

（1）求第一四分位数和中位数；

（2）设 $\hat { \boldsymbol { p } }$ 为首次故障时间小于365天的概率估计值.

（i）求 $\hat { \boldsymbol { p } }$

（ii）已知该工厂向某用户销售100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若 $X \sim B \left( 1 0 0 , \hat { p } \right)$ ，求E(X)和D(X).

15. 某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图：

①求第一四分位数和中位数；

②设 $\hat { p }$ 为首次故障时间小于365天的概率估计值.

（i）求 $\hat { \boldsymbol { p } }$

(ii)已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若X\~B(100,p)，求E(X)和 D(X).

（15分）在△ABC中，已知 $\cos B = { \frac { 3 } { 4 } }$ $\cos ^ { 2 } { \left( A + C \right) } + \sin { A } \sin { C } = 1$

（1）证明： $\triangle A B C$ 为钝角三角形；

(2) 若 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac { \sqrt { 7 } } { 4 }$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长.

17. 在 $\triangle A B C$ 中，已知 $\cos B = { \frac { 3 } { 4 } }$ $\cos ^ { 2 } { \left( A + C \right) } + \sin { A } \sin C = 1$

（1）证明： $\triangle A B C$ 为钝角三角形；

(2)若 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac { \sqrt { 7 } } { 4 }$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长.

（17分）已知函数 $f \left( x \right) = x \mathbf { e } ^ { x } + a x + b$ ，曲线 $y = f ( x )$ 在点(0, f(0))处的切线为 $y = - 2 x + 1$

(1)求a，b;

(2)当x>0时， $f \left( x + m \right) - f \left( x \right) > m$ ，求m的取值范围；

（3）当 $x > 0$ 时， $f { \big ( } x + k { \big ) } + f { \big ( } k - x { \big ) } > 2 f { \big ( } k { \big ) }$ ，求k的最小值.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

19. 已知函数 $f \left( x \right) = x e ^ { x } + a x + b$ ，曲线 y = f(x) 在点(0, f (0)) 处的切线为 $y = - 2 x + 1$

(1)求a，b;

(2)当x>0时， $f \left( x + m \right) - f \left( x \right) > m$ ，求m的取值范围；

(3)当x>0时， $f { \big ( } x + k { \big ) } + f { \big ( } k - x { \big ) } > 2 f { \big ( } k { \big ) }$ ，求k的最小值.