2016 地方卷 · 理 数学

（5 分）（2016•山东）若复数 $z$ 满足 $2z+\overline{z}=3-2\mathrm{i}$，其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位，则 $z=$（　　）

（5 分）（2016 • 山东）设集合 $A=\left\{y \mid y=2^{x}, ~ x \in R\right\}, ~ B=\left\{x \mid x^{2}-1<0\right\}$ ，则 $A \cup B=$（）

（5分）（2016•山东）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是［17．5，30］，样本数据分组为［17．5， 20 ），［20，22．5），［22．5，25），［25，27．5），［27．5，30］．根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ）

（5 分）（2016•山东）若变量 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leqslant 2 \\ 2 x-3 y \leqslant 9 \\ x \geqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $x^{2}+y^{2}$ 的最大值是（ ）

（5 分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）

正（主）视图 侧（左）视图

俯视图

（5 分）（2016 • 山东）已知直线 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 分别在两个不同的平面 $\alpha, \beta$ 内．则＂直线 a 和直线 b相交＂是＂平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 相交＂的（）

（5分）（2016•山东）函数 $f(x)=(\sqrt{3} \sin x+\cos x)(\sqrt{3} \cos x-\sin x)$ 的最小正周期是（ ）

（5 分）（2016 • 山东）已知非零向量 $\vec{\Pi}, \vec{n}$ 满足 $4|\vec{\Pi}|=3|\vec{n}|, \cos <\vec{\Pi}, \vec{n}>=\frac{1}{3}$ 。若 $\vec{n} \perp (t \vec{\pi}+\vec{n})$ ，则实数 $t$ 的值为

（5 分）（2016 • 山东）已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ．当 $x<0$ 时，$f(x)=x^{3}-1$ ；当 $-1 \leq x \leq 1$ 时，$f(-x)=-f(x)$ ；当 $x>\frac{1}{2}$ 时，$f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ．则 $f(6)=$

（5 分）（2016 •山东）若函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是

（5 分）（2016 • 山东）执行如图的程序框图，若输入的 $\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b}$ 的值分别为 0 和 9 ，则输出的 i 的值为 $\_\_\_\_$。

（5 分）（2016 ⋅ 山东）若 $\left(a x^{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{5}$ 的展开式中 $x^{5}$ 的系数是 -80 ，则实数 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

（5 分）（2016 • 山东）已知双曲线 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，若矩形 $A B C D$ 的四个顶点在 E 上， $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 的中点为 E 的两个焦点，且 $2|\mathrm{AB}|=3|\mathrm{BC}|$ ，则 E 的离心率是 $\_\_\_\_$ ．

（5 分）（2016 • 山东）在 $[-1,1]$ 上随机地取一个数 k ，则事件＂直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ 与圆（ $\mathrm{x}-5$ ） ${ }^{2}+y^{2}=9$ 相交＂发生的概率为 $\_\_\_\_$。

（5 分）（2016 • 山东）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x|, x \leqslant m \\ x^{2}-2 m x+4 m, x>m\end{array}\right.$ ，其中 $m>0$ ，若存在实数 b ，使得关于 x 的方程 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{b}$ 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

（12 分）（2016•山东）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 A，B，C 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 2 $(\tan \mathrm{A}+\tan \mathrm{B})=\frac{\tan \mathrm{A}}{\cos \mathrm{B}}+\frac{\tan \mathrm{B}}{\cos \mathrm{A}}$ ．
（ I ）证明： $\mathrm{a}+\mathrm{b}=2 \mathrm{c}$ ；
（II）求 $\cos \mathrm{C}$ 的最小值．