翻折问题　·　历年高考数学真题与解析

17．如图，平面四边形 $A B C D$ 中，$A B=8, C D=3, A D=5 \sqrt{3}, \angle A D C=90^{\circ}, \angle B A D=30^{\circ}$ ，点 $E$ ， $F$ 满足 $\overrightarrow{A E}=\frac{2}{5} \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A F}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$ ，将 $\triangle A E F$ 沿 $E F$ 对折至！$P E F$ ，使得 $P C=4 \sqrt{3}$ ．

（1）证明：$E F \perp P D$ ；
（2）求面 $P C D$ 与面 $P B F$ 所成的二面角的正弦值．

19．图1是由矩形 $A D E B$, Rt $\triangle A B C$ 和菱形 $B F G C$ 组成的一个平面图形，其中 $A B=1, B E=B F=2, \angle F B C=60^{\circ}$ ，将其沿 $A B, B C$ 折起使得 $B E$ 与 $B F$ 重合，连结 $D G$ ，如图2．
（1）证明图2中的 $A, C, G, D$ 四点共面，且平面 $A B C \perp$ 平面 $B C G E$ ；
（2）求图2中的四边形 $A C G D$ 的面积．

图1

图2

14．（4分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=3, \mathrm{CD}=1, \mathrm{AD}=\sqrt{5}$ ， $\angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}$ ，沿直线 AC 将 $\triangle \mathrm{ACD}$ 翻折成 $\triangle \mathrm{ACD}^{\prime}$ ，直线 $\mathrm{AC}^{\prime}$ 与 $\mathrm{BD}^{\prime}$ 所成角的余弦的最大值是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ．

17．（2009浙江理 17）如图，在长方形 $A B C D$ 中，$A B=2, B C=1, E$ 为 $D C$ 的中点，$F$ 为线段 $E C$（端点除外）上一动点．现将 $\triangle A F D$ 沿 $A F$ 折起，使平面 $A B D \perp$ 平面 $A B C$ 。在平面 $A B D$内过点 $D$ 作 $D K \perp A B, K$ 为垂足．设 $A K=t$ ，则 $t$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

（第17题）