（本小题满分 12 分） 如图，在 A B C 中， B=…——2011 高考数学第 23 题答案解析

【解答】
（本小题满分 12 分）
如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle B=\frac{\pi}{2}, A B=B C=2, P$ 为 $A B$ 边上一动点， $\mathrm{PD} / \mathrm{BC}$ 交 AC 于点 D ，现将 $\triangle P D A$ 沿 $P D$ 翻折至 $\triangle P D A^{\prime}$ ，使平面 $\mathrm{PDA}^{\prime} \perp$ 平面 $P B C D$ ．
（1）当棱锥 $A^{\prime}-P B C D$ 的体积最大时，求 PA 的长；
（2）若点 P 为 AB 的中点， E 为 $A^{\prime} C$ 的中点，求证： $\mathrm{A}^{\prime} B \perp D E$ ．

解：（1）设 $P A=x$ ，则 $V_{A^{\prime}-P B C D}=\frac{1}{3} P A \cdot S_{\text {底面 } P D C B}=\frac{1}{3} x\left(2-\frac{x^{2}}{x}\right)$
令 $f(x)=\frac{1}{3} x\left(2-\frac{x^{2}}{2}\right)=\frac{2 x}{3}-\frac{x^{3}}{6},(x>0)$

则 $f^{\prime}(x)=\frac{2}{3}-\frac{x^{2}}{2}$

由已知得：$E F / / \frac{1}{2} B C / / P D \Rightarrow E D / / F P$
$\triangle A^{\prime} P B$ 为等腰直角三角形，$A^{\prime} B \perp P F$

所以 $A^{\prime} B \perp D E$ ．