（13 分）已知函数 f(x)=2 sin ω x cos…——2016 高考数学第 16 题答案解析

【考点】H1：三角函数的周期性；HM：复合三角函数的单调性．
【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；57：三角函数的图像与性质．

【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得 $\omega$的值；
（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解 $x$ 的取值范围得 $f(x)$ 的单调递增区间。

【解答】解：（1）$f(x)=2 \sin \omega x \cos \omega x+\cos 2 \omega x$
$=\sin 2 \omega x+\cos 2 \omega x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2 \omega x+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2 \omega x\right)=\sqrt{2} \sin \left(2 \omega x+\frac{\pi}{4}\right)$ ．
由 $\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{2 \omega}=\pi$ ，得 $\omega=1$ ；
②由（1）得，$f(x)=\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ ．
再由 $-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leqslant 2 x+\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{\pi}{2}+2 k \pi$ ，得 $-\frac{3 \pi}{8}+k \pi \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{8}+k \pi, ~ k \in Z$ 。
$\therefore f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[-\frac{3 \pi}{8}+k \pi, \frac{\pi}{8}+k \pi\right] \quad(k \in Z)$ 。
【点评】本题考查 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)$ 型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题．