（16）（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=4…——2013 高考数学第 16 题答案解析

【答案】①$f(x)=4 \cos \omega x \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)$

$$ \begin{aligned} & =4 \cos \omega x \cdot\left(\sin \omega x \cdot \cos \frac{\pi}{4}+\cos \omega x \cdot \sin \frac{\pi}{4}\right) \\ & =2 \sqrt{2} \cos \omega x \cdot(\sin \omega \cdot+\cos \omega x) \\ & =2 \sqrt{2}\left(\cos \omega x \cdot \operatorname{in} \omega x+\cos ^{2} \omega x\right) \\ & =\sqrt{2} \sin 2 \omega x+\sqrt{2} \cos 2 \omega x+\sqrt{2} \\ & =2 \sin \left(2 \omega x+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2} \end{aligned} $$

由题意 $T=\frac{2 \pi}{2 \omega}=\pi$，所以 $\omega=1$
②由①知 $f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2}$
若 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$，则 $\frac{\pi}{4} \leq 2 x+\frac{\pi}{4} \leq \frac{5 \pi}{+}$
当 $\frac{\pi}{4} \leq 2 x+\frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{2}$，即 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{8}$ 时，$f(x)$ 单调速增
当 $\frac{\pi}{2} \leq 2 x+\frac{\pi}{4} \leq \frac{5 \pi}{4}$，即 $\frac{\pi}{8} \leq x \leq \frac{\pi}{2}, f(x)$ 单讯 ${ }^{\circ}$ 」滦。
【解析】第（1）题根据三角函数的和学化句，二倍角公式以及辅助角公式，最后化成 $y=A \sin (\omega x+\alpha)$ 的形式，利用 $T=\frac{2 \pi}{|\omega|}$ 确定 $\omega$ 的青；第（2）题用整体法的思想确定 $y=\sin t$ 的单调性，再反求出 $x$ 在指定范围内的单识性．本题⋯间单题．

【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换．考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度。