20．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=\sin (w x+\varphi)(w>0,0<\varphi<\pi)$ 的周期为 $\pi$，图象的一个对称中心为 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$，将函数 $f(x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 $\frac{\pi}{2}$ 单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象。
（1）求函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的解析式
（2）是否存在 $x_{0} \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$，使得 $f\left(x_{0}\right), g\left(x_{0}\right), f\left(x_{0}\right) g\left(x_{0}\right)$ 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 $x_{0}$ 的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数 $a$ 与正整数 $n$，使得 $F(x)=f(x)+a g(x)$ 在 $(0, n \pi)$ 内恰有2013个零点
参考答案（I）由函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 的周期为 $\pi, \omega>0$，得 $\omega=2$ 又曲线 $y=f(x)$ 的一个对称中心为 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right), \varphi \in(0, \pi)$ 故…