20．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=\sin (w x+\varphi)(w>0,0<\varphi<\pi)$ 的周期为 $\pi$，图象的一个对称中心为 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$，将函数 $f(x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 $\frac{\pi}{2}$ 单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象。
（1）求函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的解析式
（2）是否存在 $x_{0} \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$，使得 $f\left(x_{0}\right), g\left(x_{0}\right), f\left(x_{0}\right) g\left(x_{0}\right)$ 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 $x_{0}$ 的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数 $a$ 与正整数 $n$，使得 $F(x)=f(x)+a g(x)$ 在 $(0, n \pi)$ 内恰有2013个零点
参考答案（I）由函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 的周期为 $\pi, \omega>0$，得 $\omega=2$ 又曲线 $y=f(x)$ 的一个对称中心为 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right), \varphi \in(0, \pi)$ 故 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(2 \times \frac{\pi}{4}+\varphi\right)=0$，得 $\varphi=\frac{\pi}{2}$，所以 $f(x)=\cos 2 x$ 将函数 $f(x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（织坐标不变）后可得 $y=\cos x$ 的图象，再将 $y=\cos x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度后得到函数 $g(x)=\sin x$ （II）当 $x \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$ 时，$\frac{1}{2}<\sin x<\frac{\sqrt{2}}{2}, 0<\cos 2 x<\frac{1}{2}$ 所以 $\sin x>\cos 2 x>\sin x \cos 2 x$ 问题转化为方程 $2 \cos 2 x=\sin x+\sin x \cos 2 x$ 在 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$ 内是否有解 设 $G(x)=\sin x+\sin x \cos 2 x-2 \cos 2 x, x \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$ 则 $G^{\prime}(x)=\cos x+\cos x \cos 2 x+2 \sin 2 x(2-\sin x)$ 因为 $x \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$，所以 $G^{\prime}(x)>0, G(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$ 内单调递增 又 $G\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{4}<0, \quad G\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$ 且函数 $G(x)$ 的图象连续不断，故可知函数 $G(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$ 内存在唯一零点 $x_{0}$， 即存在唯一的 $x_{0} \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$ 满足题意 （III）依题意，$F(x)=a \sin x+\cos 2 x$，令 $F(x)=a \sin x+\cos 2 x=0$ 当 $\sin x=0$，即 $x=k \pi(k \in Z)$ 时， $\cos 2 x=1$，从而 $x=k \pi(k \in Z)$ 不是方程 $F(x)=0$ 的解，所以方程 $F(x)=0$ 等价于关于 $x$ 的方程 $a=-\frac{\cos 2 x}{\sin x}, x \neq k \pi(k \in Z)$ 现研究 $x \in(0, \pi) \cup(\pi, 2 \pi)$ 时方程解的情况 令 $h(x)=-\frac{\cos 2 x}{\sin x}, x \in(0, \pi) \cup(\pi, 2 \pi)$ 则问题转化为研究直线 $y=a$ 与曲线 $y=h(x)$ 在 $x \in(0, \pi) \cup(\pi, 2 \pi)$ 的交点情况 $h^{\prime}(x)=\frac{\cos x\left(2 \sin ^{2} x+1\right)}{\sin ^{2} x}$，令 $h^{\prime}(x)=0$，得 $x=\frac{\pi}{2}$ 或 $x=\frac{3 \pi}{2}$ 当 $x$ 变化时，$h(x)$ 和 $h^{\prime}(x)$ 变化情况如下表 | $x$ | （ $0, \frac{\pi}{2}$ ） | $\frac{\pi}{2}$ | $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ | $\left(\pi, \frac{3 \pi}{2}\right)$ | $\frac{3 \pi}{2}$ | $\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | $h^{\prime}(x)$ | ＋ | 0 | － | － | 0 | ＋ | | $h(x)$ | ↗ | 1 |  | ◯ | －1 |  | 当 $x>0$ 且 $x$ 趋近于 0 时，$h(x)$ 趋向于 $-\infty$ 当 $x<\pi$ 且 $x$ 趋近于 $\pi$ 时，$h(x)$ 趋向于 $-\infty$ 当 $x>\pi$ 且 $x$ 趋近于 $\pi$ 时，$h(x)$ 趋向于 $+\infty$ 当 $x<2 \pi$ 且 $x$ 趋近于 $2 \pi$ 时，$h(x)$ 趋向于 $+\infty$ 故当 $a>1$ 时，直线 $y=a$ 与曲线 $y=h(x)$ 在 $(0, \pi)$ 内有无交点，在 $(\pi, 2 \pi)$ 内有 2 个交点； 当 $a<-1$ 时，直线 $y=a$ 与曲线 $y=h(x)$ 在 $(0, \pi)$ 内有 2 个交点，在 $(\pi, 2 \pi)$ 内无交点； 当 $-1<a<1$ 时，直线 $y=a$ 与曲线 $y=h(x)$ 在 $(0, \pi)$ 内有 2 个交点，在 $(\pi, 2 \pi)$ 内有 2 个交点 由函数 $h(x)$ 的周期性，可知当 $a \neq \pm 1$ 时，直线 $y=a$ 与曲线 $y=h(x)$ 在 $(0, n \pi)$ 内总有偶数个交点， 从而不存在正整数 $n$，使得直线 $y=a$ 与曲线 $y=h(x)$ 在 $(0, n \pi)$ 内恰有 2013 个交点；当 $a= \pm 1$ 时，直线 $y=a$ 与曲线 $y=h(x)$ 在 $(0, \pi) \cup(\pi, 2 \pi)$ 内有 3 个交点，由周期性， $2013=3 \times 671$，所以 $n=671 \times 2=1342$ 综上，当 $a= \pm 1, n=1342$ 时，函数 $F(x)=f(x)+a g(x)$ 在 $(0, n \pi)$ 内恰有 2013 个零点
