集合 $M_n$ 中的点总数为 $|A_n| + |B_n| + |C_n| = (n+1) + 2 + (n+1) = 2n+4$。
从 $M_n$ 中任取两个不同点的总取法数为 $\binom{2n+4}{2} = \frac{(2n+4)(2n+3)}{2} = (n+2)(2n+3)$。
（1）当 $n=1$ 时，集合 $M_1$ 包含的点为：
$A_1=\{(0,0), (1,0)\}$，
$B_1=\{(0,1), (1,1)\}$，
$C_1=\{(0,2), (1,2)\}$。
总点数 $2(1)+4=6$，总取法数 $\binom{6}{2}=15$。
计算两点间距离 $X$ 的可能取值及频数：
1. **距离为 1**：
- 同行相邻点：$(0,0)-(1,0)$，$(0,1)-(1,1)$，$(0,2)-(1,2)$，共 3 对。
- 同列相邻点（纵坐标差1）：
- $y=0$ 与 $y=1$ 之间：$(0,0)-(0,1)$，$(1,0)-(1,1)$，共 2 对。
- $y=1$ 与 $y=2$ 之间：$(0,1)-(0,2)$，$(1,1)-(1,2)$，共 2 对。
- 合计 $3+2+2=7$ 对。
- $P(X=1) = \frac{7}{15}$。
2. **距离为 $\sqrt{2}$**：
- 横向差1，纵向差1的点对：
- $y=0$ 与 $y=1$ 之间：$(0,0)-(1,1)$，$(1,0)-(0,1)$，共 2 对。
- $y=1$ 与 $y=2$ 之间：$(0,1)-(1,2)$，$(1,1)-(0,2)$，共 2 对。
- 合计 $2+2=4$ 对。
- $P(X=\sqrt{2}) = \frac{4}{15}$。
3. **距离为 2**：
- 同列，纵向差2的点对：
- $x=0$：$(0,0)-(0,2)$。
- $x=1$：$(1,0)-(1,2)$。
- 合计 2 对。
- $P(X=2) = \frac{2}{15}$。
4. **距离为 $\sqrt{5}$**：
- 横向差1，纵向差2的点对：
- $x$ 从 0 到 1，$y$ 从 0 到 2：$(0,0)-(1,2)$，$(1,0)-(0,2)$。
- 合计 2 对。
- $P(X=\sqrt{5}) = \frac{2}{15}$。
综上，$X$ 的概率分布列为：
$$
\begin{array}{c|cccc}
X & 1 & \sqrt{2} & 2 & \sqrt{5} \\
\hline
P & \frac{7}{15} & \frac{4}{15} & \frac{2}{15} & \frac{2}{15}
\end{array}
$$
（2）当 $n \geq 3$ 时，求 $P(X \leq n)$。
利用对立事件，$P(X \leq n) = 1 - P(X > n)$。
设取出的两点为 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$，其中 $x_1, x_2 \in \{0, 1, \dots, n\}$，$y_1, y_2 \in \{0, 1, 2\}$（注意 $y=1$ 时 $x$ 只能取 $0$ 或 $n$）。
距离平方 $X^2 = (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2$。
若 $X > n$，则 $X^2 > n^2$。
分类讨论纵坐标 $y_1, y_2$ 的情况：
1. **$y_1 = y_2$**：
此时 $X = |x_1 - x_2|$。
由于 $x_1, x_2 \in [0, n]$，最大距离为 $n$。
故不存在 $X > n$ 的情况。
2. **$|y_1 - y_2| = 1$**：
此时 $X = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + 1}$。
要使 $X > n$，需 $(x_1-x_2)^2 + 1 > n^2$，即 $(x_1-x_2)^2 \geq n^2$（因为左边是整数，且 $n$ 是整数，若 $(x_1-x_2)^2 = n^2-1$ 则 $X=\sqrt{n^2} = n \ngtr n$；实际上需严格大于 $n^2$，但距离平方是整数，最小的大于 $n^2$ 的整数是 $n^2+1$? 不，$(x_1-x_2)$ 是整数，设 $\Delta x = |x_1-x_2|$。
$X > n \iff \sqrt{\Delta x^2 + 1} > n \iff \Delta x^2 + 1 > n^2 \iff \Delta x^2 \geq n^2$。
因为 $\Delta x \leq n$，所以必须 $\Delta x = n$。
此时 $X = \sqrt{n^2+1}$。
满足 $|y_1 - y_2|=1$ 且 $|x_1 - x_2|=n$ 的点对：
- $y$ 取值为 $\{0,1\}$ 或 $\{1,2\}$。
- 若 $\{y_1, y_2\} = \{0, 1\}$：
- $y=0$ 的点 $x$ 可取 $0, \dots, n$。
- $y=1$ 的点 $x$ 只能取 $0, n$。
- 要 $|x_1 - x_2|=n$：
- $x_1=0 (y=0), x_2=n (y=1)$：点 $(0,0)$ 和 $(n,1)$。距离 $\sqrt{n^2+1}$。
- $x_1=n (y=0), x_2=0 (y=1)$：点 $(n,0)$ 和 $(0,1)$。距离 $\sqrt{n^2+1}$。
- 共 2 对。
- 若 $\{y_1, y_2\} = \{1, 2\}$：
- $y=1$ 的点 $x$ 只能取 $0, n$。
- $y=2$ 的点 $x$ 可取 $0, \dots, n$。
- 要 $|x_1 - x_2|=n$：
- $x_1=0 (y=1), x_2=n (y=2)$：点 $(0,1)$ 和 $(n,2)$。距离 $\sqrt{n^2+1}$。
- $x_1=n (y=1), x_2=0 (y=2)$：点 $(n,1)$ 和 $(0,2)$。距离 $\sqrt{n^2+1}$。
- 共 2 对。
此种情况下，共有 $2+2=4$ 对点满足 $X > n$，且距离均为 $\sqrt{n^2+1}$。
3. **$|y_1 - y_2| = 2$**：
此时 $y$ 取值必为 $\{0, 2\}$。
$X = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + 4}$。
要使 $X > n$，需 $(x_1-x_2)^2 + 4 > n^2$。
即 $(x_1-x_2)^2 > n^2 - 4$。
已知 $n \geq 3$。
- 若 $\Delta x = n$，则 $X = \sqrt{n^2+4}$。因为 $n^2+4 > n^2$，所以 $X > n$ 成立。
- 若 $\Delta x = n-1$，则 $X = \sqrt{(n-1)^2+4} = \sqrt{n^2-2n+5}$。
我们需要判断 $\sqrt{n^2-2n+5}$ 是否大于 $n$。
$n^2-2n+5 > n^2 \iff -2n+5 > 0 \iff 2n < 5 \iff n < 2.5$。
因为 $n \geq 3$，所以 $n^2-2n+5 \leq n^2$ 不成立？
检查：当 $n=3$ 时，$\sqrt{3^2-6+5} = \sqrt{8} < 3$。
当 $n$ 增大时，$(n-1)^2+4 = n^2-2n+5$。
$n^2 - (n^2-2n+5) = 2n-5$。
当 $n \geq 3$ 时，$2n-5 \geq 1 > 0$，即 $n^2 > (n-1)^2+4$。
所以当 $\Delta x \leq n-1$ 时，$X \leq \sqrt{(n-1)^2+4} < n$。
因此，只有当 $\Delta x = n$ 时，才有 $X > n$。
此时 $X = \sqrt{n^2+4}$。
满足 $y_1=0, y_2=2$（或反之）且 $|x_1 - x_2|=n$ 的点对：
- $x_1=0 (y=0), x_2=n (y=2)$：点 $(0,0)$ 和 $(n,2)$。
- $x_1=n (y=0), x_2=0 (y=2)$：点 $(n,0)$ 和 $(0,2)$。
- 共 2 对。
综上，满足 $X > n$ 的点对总数为 $4 + 2 = 6$ 对。
这些点对的距离分别为 $\sqrt{n^2+1}$（4对）和 $\sqrt{n^2+4}$（2对）。
所以，$P(X > n) = \frac{6}{\binom{2n+4}{2}} = \frac{6}{(n+2)(2n+3)}$。
则 $P(X \leq n) = 1 - \frac{6}{(n+2)(2n+3)}$。
通分化简：
$$
P(X \leq n) = \frac{(n+2)(2n+3) - 6}{(n+2)(2n+3)} = \frac{2n^2 + 3n + 4n + 6 - 6}{(n+2)(2n+3)} = \frac{2n^2 + 7n}{(n+2)(2n+3)} = \frac{n(2n+7)}{(n+2)(2n+3)}
$$
通常保留 $1 - \frac{6}{\mathrm{C}_{2n+4}^{2}}$ 或展开形式均可，题目要求用 $n$ 表示，最简分式为佳。