（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 x O y 中，…——2019 高考数学第 23 题答案解析

【解答】
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设点集 $A_{n}=\{(0,0),(1,0),(2,0), \ldots,(n, 0)\}$ ， $B_{n}=\{(0,1),(n, 1)\}, C_{n}=\{(0,2),(1,2),(2,2), \cdots,(n, 2)\}, n \in N^{*}$ 。令 $M_{n}=A_{n} \cup B_{n} \cup C_{n}$ 。从集合 $M_{n}$ 中任取两个不同的点，用随机变量 $X$ 表示它们之间的距离．
（1）当 $n=1$ 时，求 $X$ 的概率分布；
（2）对给定的正整数 $n(n \geq 3)$ ，求概率 $P(X \leq n)$（用 $n$ 表示）．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析。
【解析】
【分析】
①由题意首先确定 $X$ 可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；
（2）将原问题转化为对立事件的问题求解 $P(X>n)$ 的值，据此分类讨论①．$b=d,(2) . b=0, d=1$ ，③． $b=0, d=2$ ，④．$b=1, d=2$ 四种情况确定 $X$ 满足 $X>n$ 的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定 $P(X \leqslant n)$ 的值．

【详解】①当 $n=1$ 时，$X$ 的所有可能取值是 $1, \sqrt{2}, 2, \sqrt{5}$ ．
$X$ 的概率分布为 $P(X=1)=\frac{7}{\mathrm{C}_{6}^{2}}=\frac{7}{15}, P(X=\sqrt{2})=\frac{4}{\mathrm{C}_{6}^{2}}=\frac{4}{15}$ ，
$P(X=2)=\frac{2}{\mathrm{C}_{6}^{2}}=\frac{2}{15}, P(X=\sqrt{5})=\frac{2}{\mathrm{C}_{6}^{2}}=\frac{2}{15}$.
②设 $A(a, b)$ 和 $B(c, d)$ 是从 $M_{n}$ 中取出的两个点．

因为 $P(X \leq n)=1-P(X>n)$ ，所以仅需考虑 $X>n$ 的情况．
（1）若 $b=d$ ，则 $A B \leq n$ ，不存在 $X>n$ 的取法；
（2）若 $b=0, d=1$ ，则 $A B=\sqrt{(a-c)^{2}+1} \leq \sqrt{n^{2}+1}$ ，所以 $X>n$ 当且仅当 $A B=\sqrt{n^{2}+1}$ ，此时 $a=0, c=n$ 或 $a=n, c=0$ ，有 2 种取法；
（3）若 $b=0, d=2$ ，则 $A B=\sqrt{(a-c)^{2}+4} \leq \sqrt{n^{2}+4}$ ，因为当 $n \geq 3$ 时，$\sqrt{(n-1)^{2}+4} \leq n$ ，所以 $X>n$当且仅当 $A B=\sqrt{n^{2}+4}$ ，此时 $a=0, c=n$ 或 $a=n, c=0$ ，有 2 种取法；
（4）若 $b=1, d=2$ ，则 $A B=\sqrt{(a-c)^{2}+1} \leq \sqrt{n^{2}+1}$ ，所以 $X>n$ 当且仅当 $A B=\sqrt{n^{2}+1}$ ，此时 $a=0, c=n$ 或 $a=n, c=0$ ，有 2 种取法．

综上，当 $X>n$ 时，$X$ 的所有可能取值是 $\sqrt{n^{2}+1}$ 和 $\sqrt{n^{2}+4}$ ，且
$P\left(X=\sqrt{n^{2}+1}\right)=\frac{4}{\mathrm{C}_{2 n+4}^{2}}, P\left(X=\sqrt{n^{2}+4}\right)=\frac{2}{\mathrm{C}_{2 n+4}^{2}}$.
因此，$P(X \leq n)=1-P\left(X=\sqrt{n^{2}+1}\right)-P\left(X=\sqrt{n^{2}+4}\right)=1-\frac{6}{\mathrm{C}_{2 n+4}^{2}}$ ．
【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．