（19）（本小题满分 12 分） 在等差数列 a_ n 中…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（本小题满分12分）
在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，已知 $d=2, a_{2}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{4}$ 等比中项．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=a_{\frac{n(n+1)}{2}}$ ，记 $T_{n}=-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\cdots+(-1)^{n} b_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．
【解析】：（ I ）由题意知：
$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，设 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d, \because a_{2}$ 为 $a_{1}$ 与 $a_{4}$ 的等比中项
$\therefore a_{2}^{2}=a_{1} \times a_{4}$ 且 $a_{1} \neq 0$ ，即 $\left(a_{1}+d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+3 d\right), \because d=2$ 解得：$a_{1}=2$
$\therefore a_{n}=2+(n-1) \times 2=2 n$
（II）由（I）知：$a_{n}=2 n, b_{n}=a_{\frac{n(n+1)}{2}}=n(n+1)$
①当 $n$ 为偶数时：

$$ \begin{aligned} & T_{n}=-(1 \times 2)+(2 \times 3)-(3 \times 4)+\cdots \cdots+n(n+1) \\ & =2(-1+3)+4(-3+5)+\cdots \cdots+n[-(n-1)+(n+1)] \\ & =2 \times 2+4 \times 2+6 \times 2+\cdots \cdots+n \times 2 \\ & =2 \times(2+4+6+\cdots \cdots+n) \\ & =2 \times \frac{(2+n) \frac{n}{2}}{2}=\frac{n^{2}+2 n}{2} \end{aligned} $$

②当 $n$ 为奇数时：

$$ \begin{aligned} & T_{n}=-(1 \times 2)+(2 \times 3)-(3 \times 4)+\cdots \cdots-n(n+1) \\ & =2(-1+3)+4(-3+5)+\cdots \cdots+(n-1)[-(n-2)+n]-n(n+1) \\ & =2 \times 2+4 \times 2+6 \times 2+\cdots \cdots+(n-1) \times 2-n(n+1) \\ & =2 \times[2+4+6+\cdots \cdots+(n-1)]-n(n+1) \\ & =2 \times \frac{(2+n-1) \frac{n-1}{2}}{2}-n(n-1)=-\frac{n^{2}+2 n+1}{2} \end{aligned} $$

综上：$T_{n}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{n^{2}+2 n+1}{2}, n \text { 为奇数 } \\ \frac{n^{2}+2 n}{2}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$