（本小题满分 12 分） 如图，从点 P_ 1 (0,0)…——2011 高考数学第 18 题答案解析

【分析】①根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与 $x$ 轴的交
点坐标；②尝试求出通项 $\left|P_{n} Q_{n}\right|$ 的表达式，然后再求和．

【解】（I）设 $P_{k-1}\left(x_{k-1}, 0\right)$ ，由 $y^{\prime}=e^{x}$ 得 $Q_{k-1}\left(x_{k-1}, e^{x_{k-1}}\right)$ 点处切线方程为

$$ y-e^{x_{k-1}}=e^{x_{k-1}}\left(x-x_{k-1}\right) $$

由 $y=0$ 得 $x_{k}=x_{k-1}-1(2 \leq k \leq n)$ 。
（ II ）$x_{1}=0, x_{k}-x_{k-1}=-1$ ，得 $x_{k}=-(k-1)$ ，

$$ \begin{aligned} & \left|P_{k} Q_{k}\right|=e^{x_{k}}=e^{-(k-1)} \\ & S_{n}=\left|P_{1} Q_{1}\right|+\left|P_{2} Q_{2}\right|+\left|P_{3} Q_{3}\right|+\ldots+\left|P_{n} Q_{n}\right| \\ & =1+e^{-1}+e^{-2}+\ldots+e^{-(n-1)}=\frac{1-e^{-n}}{1-e^{-1}}=\frac{e-e^{1-n}}{e-1} \end{aligned} $$

## 20．（本小题满分 13 分）

如图， A 地到火车站共有两条路径 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ ，现随机抽取 100 位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

（1）试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；
（2）分别求通过路径 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 所用时间落在上表中各时间段内的频率；
（3）现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，

为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径。

【分析】（1）读懂数表，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；（2）根据频率的计算公式计算；（3）计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径．

【解】①由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 $12+12+16+4=44$人，
∴ 用频率估计相应的概率为 0.44 ．
（2）选择 $L_{1}$ 的有 60 人，选择 $L_{2}$ 的有 40 人，

故由调查结果得频率为：

（3）用 $A_{1}, A_{2}$ 分别表示甲选择 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 时，在40分钟内赶到火车站；用 $B_{1}, B_{2}$ 分别表示乙选择 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 时，在 50 分钟内赶到火车站．

由②知 $\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right)=0.1+0.2+0.3=0.6, ~ \mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right)=0.1+0.4=0.5, ~ \mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right)>\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right)$ ，
∴ 甲应选择路径 $L_{1}$ ；
$\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1}\right)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, \mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{2}\right)=0.1+0.4+0.4=0.9, \mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{2}\right)>\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1}\right)$ ，
∴ 乙应选择路径 $\mathrm{L}_{2}$ ．