19．（12分）（2011•陕西）如图，从点 $\mathrm{P}_{1}(0,0)$ 做 x 轴的垂线交曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 于点 $\mathrm{Q}_{1}(0,1$ ），曲线在 $\mathrm{Q}_{1}$ 点处的切线与 x 轴交于点 $\mathrm{P}_{2}$ ，再从 $\mathrm{P}_{2}$ 做 x 轴的垂线交曲线于点 $\mathrm{Q}_{2}$ ，依次重复上述过程得到一系列点： $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{Q}_{1} ; \mathrm{P}_{2}, \mathrm{Q}_{2} \ldots ; \mathrm{P}_{\mathrm{n}}, \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}$ ，记 $\mathrm{P}_{\mathrm{k}}$ 点的坐标为 $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}}, 0\right)(\mathrm{k}=1,2$ ， …，n）。
（I）试求 $\mathrm{x}_{\mathrm{k}}$ 与 $\mathrm{x}_{\mathrm{k}-1}$ 的关系（ $2 \leq \mathrm{k} \leq \mathrm{n}$ ）；
（II）求 $\left|\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1}\right|+\left|\mathrm{P}_{2} \mathrm{Q}_{2}\right|+\left|\mathrm{P}_{3} \mathrm{Q}_{3}\right|+\ldots+\left|\mathrm{P}_{\mathrm{n}} \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}\right|$ 。
（12分）（2011•陕西）如图，从点 P _ 1 (0,…——2011 高考数学第 19 题答案解析
2011_退役省自主命题 (2011·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．
【专题】综合题；转化思想。
【分析】（I）设出 $\mathrm{p}_{\mathrm{k}-1}$ 的坐标，求出 $\mathrm{Q}_{\mathrm{k}-1}$ ，利用导数的几何意义函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率，利用点斜式求出切线方程，令 $\mathrm{y}=0$ 得到 $\mathrm{x}_{\mathrm{k}}$ 与 $\mathrm{x}_{\mathrm{k}+1}$ 的关系。
（II）求出 $\left|\mathrm{P}_{\mathrm{k}} \mathrm{Q}_{\mathrm{k}}\right|$ 的表达式，利用等比数列的前 n 项和公式求出和。
【解答】解：（I）设 $\mathrm{P}_{\mathrm{k}-1}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}-1}, 0\right)$ ，
由 $y=e^{x}$ 得 $Q_{k-1}\left(x_{k-1}, e^{x_{k-1}}\right)$
点 $Q_{k-1}$ 处切线方程为 $y-e^{x_{k-1}}=e^{x_{k-1}}\left(x-x_{k-1}\right)$
由 $y=0$ 得 $x_{k}=x_{k-1}-1 ~(2 \leq k \leq n)$ 。
（II） $\mathrm{x}_{1}=0, \mathrm{x}_{\mathrm{k}}-\mathrm{x}_{\mathrm{k}-1}=-1$ ，得 $\mathrm{x}_{\mathrm{k}}=-(\mathrm{k}-1)$ ，
$\left|P_{k} Q_{k}\right|=e^{x_{k}}=e^{-(k-1)}$
$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\left|\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1}\right|+\left|\mathrm{P}_{2} \mathrm{Q}_{2}\right|+\left|\mathrm{P}_{3} \mathrm{Q}_{3}\right|+\ldots+\left|\mathrm{P}_{\mathrm{n}} \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}\right|$
$=1+e^{-1}+e^{-2}+\cdots+e^{-(n-1)}=\frac{1-e^{-n}}{1-e^{-1}}=\frac{e-e^{1-n}}{e-1}$
【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率、考查等比数列的前 n 项和公式求出和。