已知等比数列 a_ n 的公比为正数，且 a_ 3 a_…——2009 高考数学第 3 题答案解析

【解答】
（5分）（2009•广东）已知等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的公比为正数，且 $\mathrm{a}_{3} \cdot \mathrm{a}_{9}=2 \mathrm{a}_{5}{ }^{2}, \mathrm{a}_{2}=1$ ，则 $\mathrm{a}_{1}=$（ ）
A．$\frac{1}{2}$
B．$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C．$\sqrt{2}$
D． 2

【考点】等比数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列。
【分析】设等比数列的公比为 $q$ ，根据等比数列的通项公式把 $a_{3} \cdot a_{9}=2 a^{2}{ }_{5}$ 化简得到关于 $q$ 的方程，由此数列的公比为正数求出 $q$ 的值，然后根据等比数列的性质，由等比 $q$ 的值和 $a_{2}=1$ 即可求出 $a_{1}$ 的值。

【解答】解：设公比为 $q$ ，由已知得 $a_{1} q^{2} \cdot a_{1} q^{8}=2\left(a_{1} q^{4}\right)^{2}$ ，即 $q^{2}=2$ ，又因为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为正数，

所以 $\mathrm{q}=\sqrt{2}$ ，故 $\mathrm{a}_{1}=\frac{\mathrm{a}_{2}}{\mathrm{q}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
故选B．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题。