（10分）等差数列 a_ n 的前 n 项和为 S_ n…——2013 高考数学第 17 题答案解析

【考点】85：等差数列的前 n 项和；88：等比数列的通项公式．
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由 $\mathrm{s}_{3}=\mathrm{a}_{2}{ }^{2}$ ，结合等差数列的求和公式可求 $\mathrm{a}_{2}$ ，然后由 $\mathrm{S}_{2}{ }^{2}=\mathrm{S}_{1} \cdot \mathrm{~S}_{4}$ ，结合等差数列的求和公式进而可求公差 $d$ ，即可求解通项公式

【解答】解：设数列的公差为 d
由 $s_{3}=a_{2}$ 2得， $3 a_{2}=a_{2}{ }^{2}$
$\therefore a_{2}=0$ 或 $a_{2}=3$
由题意可得， $\mathrm{S}_{2}{ }^{2}=\mathrm{S}_{1} \cdot \mathrm{~S}_{4}$
$\therefore\left(2 a_{2}-d\right)^{2}=\left(a_{2}-d\right)\left(4 a_{2}+2 d\right)$
若 $a_{2}=0$ ，则可得 $d^{2}=-2 d^{2}$ 即 $d=0$ 不符合题意
若 $a_{2}=3$ ，则可得 $(6-d){ }^{2}=(3-d)(12+2 d)$
解可得 $d=0$ 或 $d=2$
$\therefore a_{n}=3$ 或 $a_{n}=2 n-1$
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题