已知 a_ n 为等差数列， b_ n 是公比为 2 的等…——2022 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；
（2） 9 ．

【解析】

【分析】①设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $\boldsymbol{d}$ ，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得 $m=2^{k-2}$ ，即可解出．

【小问 1 详解】

设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $\boldsymbol{d}$ ，所以，$\left\{\begin{array}{c}a_{1}+d-2 b_{1}=a_{1}+2 d-4 b_{1} \\ a_{1}+d-2 b_{1}=8 b_{1}-\left(a_{1}+3 d\right)\end{array}\right.$ ，即可解得，$b_{1}=a_{1}=\frac{d}{2}$ ，所以原命题得证．

【小问 2 详解】

由①知，$b_{1}=a_{1}=\frac{d}{2}$ ，所以 $b_{k}=a_{m}+a_{1} \Leftrightarrow b_{1} \times 2^{k-1}=a_{1}+(m-1) d+a_{1}$ ，即 $2^{k-1}=2 m$ ，亦即
$m=2^{k-2} \in[1,500]$ ，解得 $2 \leq k \leq 10$ ，所以满足等式的解 $k=2,3,4, \cdots, 10$ ，故集合
$\left\{k \mid b_{k}=a_{m}+a_{1}, 1 \leq m \leq 500\right\}$ 中的元素个数为 $10-2+1=9$ ．