（15分）已知等比数列 a_ n 的公比 q>1，且 a_…——2018 高考数学第 20 题答案解析

【考点】 8 M ：等差数列与等比数列的综合．
【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质，解方程可得公比 q；
（II）设 $c_{n}=\left(b_{n+1}-b_{n}\right) a_{n}=\left(b_{n+1}-b_{n}\right) 2^{n-1}$ ，运用数列的递推式可得 $c_{n}=4 n-1$ ，再由数列的恒等式求得 $b_{n}=b_{1}+\left(b_{2}-b_{1}\right)+\left(b_{3}-b_{2}\right)+\ldots+\left(b_{n}-b_{n-1}\right)$ ，运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．

【解答】解：（I）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q>1$ ，且 $a_{3}+a_{4}+a_{5}=28, a_{4}+2$ 是 $a_{3}, a_{5}$ 的等差中项，

可得 $2 a_{4}+4=a_{3}+a_{5}=28-a_{4}$ ，
解得 $a_{4}=8$ ，
由 $\frac{8}{q}+8+8 q=28$ ，可得 $q=2$（ $\frac{1}{2}$ 舍去），
则 q 的值为 2 ；
（II）设 $c_{n}=\left(b_{n+1}-b_{n}\right) a_{n}=\left(b_{n+1}-b_{n}\right) 2^{n-1}$ ，
可得 $n=1$ 时，$c_{1}=2+1=3$ ，
$n \geqslant 2$ 时，可得 $c_{n}=2 n^{2}+n-2(n-1)^{2}-(n-1)=4 n-1$ ，
上式对 $n=1$ 也成立，
则 $\left(b_{n+1}-b_{n}\right) a_{n}=4 n-1$ ，
即有 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}+1}-\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=(4 \mathrm{n}-1) \bullet\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}-1}$ ，
可得 $b_{n}=b_{1}+\left(b_{2}-b_{1}\right)+\left(b_{3}-b_{2}\right)+\ldots+\left(b_{n}-b_{n-1}\right)$
$=1+3 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{0}+7 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{1}+\ldots+(4 n-5) \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}$ ，
$\frac{1}{2} \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}+3 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)+7 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\ldots+(4 \mathrm{n}-5) \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}-1}$ ，
相减可得 $\frac{1}{2} b_{n}=\frac{7}{2}+4\left[\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\ldots+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}\right]-(4 n-5) \bullet\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
$=\frac{7}{2}+4 \cdot \frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n-2}}\right)}{1-\frac{1}{2}}-(4 n-5) \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ，

化简可得 $b_{n}=15-(4 n+3) \bullet\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}$ 。
【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查数列的恒等式和错位相减法的运用，考查运算能力，属于中档题．