已知直线 l 与椭圆 x^ 2 6 + y^ 2 3 =1…——2022 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $x+\sqrt{2} y-2 \sqrt{2}=0$

## 【解析】

【分析】令 $A B$ 的中点为 $E$ ，设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，利用点差法得到 $k_{O E} \cdot k_{A B}=-\frac{1}{2}$ ，设直线 $A B: y=k x+m, k<0, m>0$ ，求出 $M , N$ 的坐标，再根据 $|M N|$ 求出 $k , m$ ，即可得解；

【详解】解：令 $A B$ 的中点为 $E$ ，因为 $|M A|=|N B|$ ，所以 $|M E|=|N E|$ ，
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则 $\frac{x_{1}{ }^{2}}{6}+\frac{y_{1}{ }^{2}}{3}=1, \frac{x_{2}{ }^{2}}{6}+\frac{y_{2}{ }^{2}}{3}=1$ ，
所以 $\frac{x_{1}{ }^{2}}{6}-\frac{x_{2}{ }^{2}}{6}+\frac{y_{1}{ }^{2}}{3}-\frac{y_{2}{ }^{2}}{3}=0$ ，即 $\frac{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)}{6}+\frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(y_{1}-y_{2}\right)}{3}=0$
所以 $\frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(y_{1}-y_{2}\right)}{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)}=-\frac{1}{2}$ ，即 $k_{O E} \cdot k_{A B}=-\frac{1}{2}$ ，设直线 $A B: y=k x+m, k<0, m>0$ ，
令 $x=0$ 得 $y=m$ ，令 $y=0$ 得 $x=-\frac{m}{k}$ ，即 $M\left(-\frac{m}{k}, 0\right), N(0, m)$ ，所以 $E\left(-\frac{m}{2 k}, \frac{m}{2}\right)$ ，
即 $k \times \frac{\frac{m}{2}}{-\frac{m}{2 k}}=-\frac{1}{2}$ ，解得 $k=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），
又 $|M N|=2 \sqrt{3}$ ，即 $|M N|=\sqrt{m^{2}+(\sqrt{2} m)^{2}}=2 \sqrt{3}$ ，解得 $m=2$ 或 $m=-2$（舍去），

所以直线 $A B: y=-\frac{\sqrt{2}}{2} x+2$ ，即 $x+\sqrt{2} y-2 \sqrt{2}=0$ ；

故答案为：$x+\sqrt{2} y-2 \sqrt{2}=0$