（本小题共14分） 已知菱形 A B C D 的顶点 A,…——2008 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（共14分）
解：（ I ）由题意得直线 $B D$ 的方程为 $y=x+1$ ．
因为四边形 $A B C D$ 为菱形，所以 $A C \perp B D$ ．
于是可设直线 $A C$ 的方程为 $y=-x+n$ ．
由 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+3 y^{2}=4, \\ y=-x+n\end{array}\right.$ 得 $4 x^{2}-6 n x+3 n^{2}-4=0$ ．
因为 $A, C$ 在椭圆上，
所以 $\Delta=-12 n^{2}+64>0$ ，解得 $-\frac{4 \sqrt{3}}{3}设 $A, C$ 两点坐标分别为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，

则 $x_{1}+x_{2}=\frac{3 n}{2}, x_{1} x_{2}=\frac{3 n^{2}-4}{4}, y_{1}=-x_{1}+n, y_{2}=-x_{2}+n$ ．
所以 $y_{1}+y_{2}=\frac{n}{2}$ ．
所以 $A C$ 的中点坐标为 $\left(\frac{3 n}{4}, \frac{n}{4}\right)$ ．

由四边形 $A B C D$ 为菱形可知，点 $\left(\frac{3 n}{4}, \frac{n}{4}\right)$ 在直线 $y=x+1$ 上，
所以 $\frac{n}{4}=\frac{3 n}{4}+1$ ，解得 $n=-2$ ．
所以直线 $A C$ 的方程为 $y=-x-2$ ，即 $x+y+2=0$ ．
（II）因为四边形 $A B C D$ 为菱形，且 $\angle A B C=60^{\circ}$ ，
所以 $|A B|=|B C|=|C A|$ ．
所以菱形 $A B C D$ 的面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{2}|A C|^{2}$ ．

由（I）可得 $|A C|^{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\frac{-3 n^{2}+16}{2}$ ，
所以 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(-3 n^{2}+16\right)\left(-\frac{4 \sqrt{3}}{3}所以当 $n=0$ 时，菱形 $A B C D$ 的面积取得最大值 $4 \sqrt{3}$ ．