2016_江苏卷 (2016)
25．（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 $1: \mathrm{x}-\mathrm{y}-2=0$ ，抛物线C： $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px} \quad(\mathrm{p}>0)$ 。
（1）若直线 $l$ 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；
（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 I 对称的相异两点 P 和 Q ．
（1）求证：线段 PQ 的中点坐标为 $(2-\mathrm{p}, ~-\mathrm{p})$ ；
（2）求 $p$ 的取值范围．
【解答】
（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 $1: \mathrm{x}-\mathrm{y}-2=0$ ，抛物线C： $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px} \quad(\mathrm{p}>0)$ 。
（1）若直线 $l$ 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；
（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 1 对称的相异两点 P 和 Q ．
（1）求证：线段 PQ 的中点坐标为 $(2-\mathrm{p}, ~-\mathrm{p})$ ；
（2）求 p 的取值范围．
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．
（2）：①设点 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ ，通过抛物线方程，求解 $\mathrm{k}_{\mathrm{PQ}}$ ，通过 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 关于直线 I 对称，点的 $\mathrm{k}_{\mathrm{PQ}}=-1$ ，推出 $\frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}=-\mathrm{p}, P Q$ 的中点在直线 $l$ 上，推出 $\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}=2-\mathrm{p}$ ，即可证明线段 PQ 的中点坐标为 $(2-\mathrm{p},-\mathrm{p})$ ；
（2）利用线段 $P Q$ 中点坐标 $(2-p,-p)$ 。推出 $\left\{\begin{array}{l}y_{1}+y_{2}=-2 p \\ y_{1} y_{2}=4 p^{2}-4 p\end{array}\right.$ ，得到关于 $y^{2}+2 p y+4 p^{2}- 4 \mathrm{p}=0$ ，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出 p 的范围．
【解答】解：（1）$\because 1: ~ \mathrm{x}-\mathrm{y}-2=0, \quad \therefore 1$ 与 x 轴的交点坐标 $(2,0)$ ，即抛物线的焦点坐标 $(2,0)$ ．
$\therefore \frac{\mathrm{p}}{2}=2$ ，
∴ 抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=8 \mathrm{x}$ ．
（2）证明：①设点 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ ，则：$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}_{1}{ }^{2}=2 \mathrm{p} \mathrm{x}_{1} \\ \mathrm{y}_{2}{ }^{2}=2 \mathrm{p} \mathrm{x}_{2}\end{array}\right.$ ，
即：$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{y}_{1}{ }^{2}}{2 \mathrm{p}}=\mathrm{x}_{1} \\ \frac{\mathrm{y}_{2}{ }^{2}}{2 \mathrm{p}}=\mathrm{x}_{2}\end{array}, \mathrm{k}_{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{y}_{1}-\mathrm{y}_{2}}{\frac{\mathrm{y}_{1}{ }^{2}}{2 \mathrm{p}}-\frac{\mathrm{y}_{2}{ }^{2}}{2 \mathrm{p}}}=\frac{2 \mathrm{p}}{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}\right.$,
又 $\because P, Q$ 关于直线 1 对称，$\therefore k_{P Q}=-1$ ，即 $y_{1}+y_{2}=-2 p, \therefore \frac{y_{1}+y_{2}}{2}=-p$ ，
又 $P Q$ 的中点在直线 $l$上，$\therefore \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}+2=2-p$ ，
∴ 线段 PQ 的中点坐标为 $(2-\mathrm{p}, ~-\mathrm{p})$ ；
（2）因为 Q 中点坐标（ $2-\mathrm{p}, ~-\mathrm{p}$ ）。
$\therefore\left\{\begin{array}{l}y_{1}+y_{2}=-2 p \\ x_{1}+x_{2}=\frac{y_{1}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}}{2 p}=4-2 p\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}y_{1}+y_{2}=-2 p \\ y_{1}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}=8 p-4 p^{2}\end{array}\right.$
$\therefore\left\{\begin{array}{l}y_{1}+y_{2}=-2 p \\ y_{1} y_{2}=4 p^{2}-4 p\end{array}\right.$ ，即关于 $y^{2}+2 p y+4 p^{2}-4 p=0$, 有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta>0, \quad(2 p)^{2}-4\left(4 p^{2}-4 p\right)>0$,
$\therefore \mathrm{p} \in\left(0, \frac{4}{3}\right)$ ．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力。