2008_旧全国 I 卷 (2008·理)
20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止。
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验。
（I）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（II）$\xi$ 表示依方案乙所需化验次数，求 $\xi$ 的期望。
【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：离散型随机变量的期望与方差。
【分析】①由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．
②根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果。
【解答】解：（I）若乙验两次时，有两种可能：
①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：
$\frac{C_{4}^{2} \mathrm{~A}_{3}^{3}}{\mathrm{~A}_{5}^{3}} \times \frac{1}{\mathrm{~A}_{3}^{1}}=\frac{6 \times 6}{3 \times 4 \times 5} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{5}$
②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有 ，均可以在第二次结束）
$\frac{\mathrm{A}_{4}^{3} \mathrm{~A}_{2}^{1}}{\mathrm{~A}_{5}^{3} \mathrm{~A}_{2}^{2}}=\frac{24}{5 \times 3 \times 4}=\frac{2}{5}$,
∴ 乙只用两次的概率为 $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$ ．
若乙验三次时，只有一种可能：
先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为 $\frac{2}{5}$
∴ 甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：
$\frac{3}{5} \times\left(1-\frac{1}{5}\right)+\frac{2}{5}\left(1-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}\right)=\frac{12}{25}+\frac{6}{25}=\frac{18}{25}$
（II）$\xi$ 表示依方案乙所需化验次数，
$\therefore \xi$ 的期望为 $E \xi=2 \times 0.6+3 \times 0.4=2.4$ ．
【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫。同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．