右图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，…——2012 高考数学第 14 题答案解析

【解析】先以拱顶为原点，建立直角坐标系，设水面和拱桥交点 $\mathrm{A}(2,-2)$ 则抛物线方程为 $x^{2}=-2 p y$ ，代入得 $2^{2}=-2 \mathrm{p}(-2), \therefore 2 \mathrm{p}=2, x^{2}=-2 y$ ，当水面下降 1 米时，水面和拱桥的交点记作 $B(a,-3)$ 则代入抛物线方程得：$a=\sqrt{6}$ ，因此水面宽 $2 \sqrt{6}$ 米。

【答案】 $2 \sqrt{6}$ 米
【考点定位】本题主要考察抛物线的标准方程及其应用，紧扣课本．

15 A （不等式选做题）若存在实数 $x$ 使 $|x-a|+|x-1| \leq 3$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

【解析】由题意知左边的最小值小于或等于 3 即可，根据不等式的性质得
$|(x-a)-(x-1)| \leq 3, \therefore|a-1| \leq 3,-2 \leq a \leq 4$ ．
【答案】 $-2 \leq a \leq 4$ ．
【考点定位】本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用。
15 B（几何证明选做题）如图，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 $\mathrm{E}, E F \perp D B$ ，垂足为 F ，若 $A B=6, A E=1$ ，则 $D F \cdot D B=$ $\_\_\_\_$ 5
【解析】
$\because R t \triangle D E F \sim R t \triangle D E B, \therefore \frac{D F}{D E}=\frac{D E}{B D}$ ，即 $D E^{2}=D F \cdot B D$ ，
又由相交弦定理得 $D E^{2}=A E \cdot E B=1 \times 5=5 . \therefore D F \cdot B D=5$ ．
【答案】 5
【考点定位】该题主要考察直线和圆的位置关系的证明与计算．
15 C （坐标系与参数方程）直线 $2 \rho \cos \theta=1$ 与圆 $\rho=2 \cos \theta$ 相交的弦长为 $\_\_\_\_$ $\sqrt{3}$ $\_\_\_\_$
【解析】化极坐标为 直角坐标得直线

$x=\frac{1}{2}$ ，圆 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ ，由勾股定理可得相交弦长为 $2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ ．
【答案】 $\sqrt{3}$ ．
【考点定位】本题主要考察极坐标系与极坐标方程，先化为普通方程后求解．
三．