已知 f ( x ) = x ^ 2 - ( m + 2…——2025 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
$( 1 ) [ 1 , + \infty )$

> ② $| m > 0$ 且 $m \neq 2$

【分析】(1)先求出m，从而原不等式即为 $x + \ln x > 1$ ，构建新函数 $s ( x ) = x + \ln x , x > 0$ ，由该函数为增函数可求不等式的解；

> (2)求出函数的导数，就 $m \leqslant 0 , 0 < m < 2 , m = 2 , m > 2$ 分类讨论后可得参数的取值范围.

【小问1详解】

因为 $f ( 1 ) = 0$ ,故 $1 - m - 2 + 0 = 0$ ,故 $m { = } { - } 1$ ,故 $f ( x ) = x ^ { 2 } - x - \ln { x }$

故 $f ( x ) \leqslant x ^ { 2 } - 1$ 即为 $x + \ln x \geqslant 1$

设 $s ( x ) = x + \ln x , x > 0$ ,则 $s ^ { \prime } ( x ) = 1 + \frac { 1 } { x } > 0$ ,故s(x)在 $( 0 , + \infty )$ 上为增函数，

而 $x + \ln x \geqslant 1$ 即为 $s ( x ) \geqslant s ( 1 )$ ,故 $x \geqslant 1$

故原不等式的解为 $[ 1 , + \infty )$

【小问2详解】

f(x)在(0,+∞)有极大值即为有极大值点.

$$ f ^ { \prime } ( x ) = 2 x - ( m + 2 ) + \frac { m } { x } = \frac { 2 x ^ { 2 } - ( m + 2 ) x + m } { x } = \frac { ( 2 x - m ) ( x - 1 ) } { x } , $$

若 $m \leqslant 0$ ，则 $x \in ( 0 , 1 )$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) < 0 , x \in ( 1 , + \infty )$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) > 0$

故 $x = 1$ 为f(x)的极小值点，无极大值点，故舍；

若 $0 < \frac { m } { 2 } < 1$ 即 $0 < m < 2$ ，则 $x \in \left( { \frac { m } { 2 } } , 1 \right)$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) < 0$

$x \in \left( 0 , \frac { m } { 2 } \right) \cup ( 1 , + \infty )$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) > 0$

故 $x = { \frac { m } { 2 } }$ 为 $f ( x )$ 的极大值点，符合题设要求；

若 $m = 2$ ,则 $x \in ( 0 , + \infty )$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) \geqslant 0 , f ( x )$ 无极值点，舍；

若 $\frac { m } { 2 } > 1$ 即 $m > 2$ ,则 $x \in \left( 1 , { \frac { m } { 2 } } \right)$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) < 0$

$x \in ( 0 , 1 ) \cup \left( { \frac { m } { 2 } } , + \infty \right)$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) > 0$

故 $x = 1$ 为 $f ( x )$ 的极大值点，符合题设要求；

综上， $m > 0$ 且 $m \neq 2$