2020 高考数学第 20 题答案解析

20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中，$a_{1}=b_{1}=c_{1}=1, c_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}, c_{n+1}=\frac{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}_{\mathrm{n}+2}} \cdot \mathrm{c}_{\mathrm{n}}(n \in \mathrm{~N} *)$ ．
（I）若数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，且公比 $q>0$ ，且 $b_{1}+b_{2}=6 b_{3}$ ，求 $q$ 与 $a_{n}$ 的通项公式；
（II）若数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列，且公差 $d>0$ ，证明：$c_{1}+c_{2}+\cdots+\mathrm{c}_{\mathrm{n}}<1+\frac{1}{\mathrm{~d}}$ ．