（本小题满分 14 分） 已知数列 a_ n 与 b_ n…——2011 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14 分。
（I）解：由 $b_{n}=\frac{3+(-1)^{n}}{2}, n \in N^{*}$ ，
可得 $b_{n}=\left\{\begin{array}{l}1, n \text { 为奇数 } \\ 2, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$
又 $b_{n} a_{n}+a_{n+1}+b_{n+1} a_{n+2}=0$ ，
当 $n=1$ 时，$a_{1}+a_{2}+2 a_{3}=0$ ，由 $a_{1}=2, a_{2}=4$ ，可得 $a_{3}=-3$ ；
当 $n=2$ 时， $2 a_{2}+a_{3}+a_{4}=0$ ，可得 $a_{4}=-5$ ；
当 $n=3$ 时，$a_{3}+a_{4}+2 a_{5}=0$ ，可得 $a_{4}=4$ ．
（II）证明：对任意 $n \in N^{*}$ ，

$$ \begin{aligned} & a_{2 n-1}+a_{2 n}+2 a_{2 n+1}=0 \\ & 2 a_{2 n}+a_{2 n+1}+a_{2 n+2}=0 \\ & a_{2 n+1}+a_{2 n+2}+2 a_{2 n+3}=0 \end{aligned} $$

（2）－③，得 $\quad a_{2 n}=a_{2 n+3}$ ．
（4）

将（4）代入①，可得 $a_{2 n+1}+a_{2 n+3}=-\left(a_{2 n-1}+a_{2 n+1}\right)$
即 $c_{n+1}=-c_{n}\left(n \in N^{*}\right)$
又 $c_{1}=a_{1}+a_{3}=-1$ ，故 $\mathrm{c}_{n} \neq 0$ ，

因此 $\frac{c_{n+1}}{c_{n}}=-1$ ，所以 $\left\{c_{n}\right\}$ 是等比数列．
（III）证明：由（II）可得 $a_{2 k-1}+a_{2 k+1}=(-1)^{k}$ ，
于是，对任意 $k \in N^{*}$ 且 $k \geq 2$ ，有

$$ \begin{aligned} & a_{1}+a_{3}=-1, \\ & -\left(a_{3}+a_{5}\right)=-1, \\ & a_{5}+a_{7}=-1, \\ & \vdots \\ & (-1)^{k}\left(a_{2 k-3}+a_{2 k-1}\right)=-1 . \end{aligned} $$

将以上各式相加，得 $a_{1}+(-1)^{k} a_{2 k-1}=-(k-1)$ ，

即 $a_{2 k-1}=(-1)^{k+1}(k+1)$ ，
此式当 $\mathrm{k}=1$ 时也成立．由（4）式得 $a_{2 k}=(-1)^{k+1}(k+3)$ ．

从而 $S_{2 k}=\left(a_{2}+a_{4}\right)+\left(a_{6}+a_{8}\right)+\cdots+\left(a_{4 k-2}+a_{4 k}\right)=-k$ ，

$$ S_{2 k-1}=S_{2 k}-a_{4 k}=k+3 $$

所以，对任意 $n \in N^{*}, n \geq 2$ ，

$$ \begin{aligned} & \sum_{k=1}^{4 n} \frac{S_{k}}{a_{k}}=\sum_{m=1}^{n}\left(\frac{S_{4 m-3}}{a_{4 m-3}}+\frac{S_{4 m-2}}{a_{4 m-2}}+\frac{S_{4 m-1}}{a_{4 m-1}}+\frac{S_{4 m}}{a_{4 m}}\right) \\ & =\sum_{m=1}^{n}\left(\frac{2 m+2}{2 m}-\frac{2 m-1}{2 m+2}-\frac{2 m+3}{2 m+1}+\frac{2 m}{2 m+3}\right) \\ & =\sum_{m=1}^{n}\left(\frac{2}{2 m(2 m+1)}+\frac{3}{(2 m+2)(2 m+2)}\right) \\ & =\frac{2}{2 \times 3}+\sum_{m=2}^{n} \frac{5}{2 m(2 m+1)}+\frac{3}{(2 n+2)(2 n+3)} \\ & <\frac{1}{3}+\sum_{m=2}^{n} \frac{5}{(2 m-1)(2 m+1)}+\frac{3}{(2 n+2)(2 n+3)} \\ & =\frac{1}{3}+\frac{5}{2} \cdot\left[\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)\right]+\frac{3}{(2 n+2)(2 n+3)} \\ & =\frac{1}{3}+\frac{5}{6}-\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2 n+1}+\frac{3}{(2 n+2)(2 n+3)} \\ & <\frac{7}{6} . \end{aligned} $$

对于 $n=1$ ，不等式显然成立．
所以，对任意 $n \in N^{*}$ ，

$$ \begin{aligned} & \frac{S_{1}}{a_{1}}+\frac{S_{2}}{a_{2}}+\cdots+\frac{S_{2 n-1}}{a_{2 n-1}}+\frac{S_{2 n}}{a_{2 n}} \\ & =\left(\frac{S_{1}}{a_{1}}+\frac{S_{2}}{a_{2}}\right)+\left(\frac{S_{3}}{a_{3}}+\frac{S_{4}}{a_{4}}\right)+\cdots+\left(\frac{S_{2 n-1}}{a_{2 n-1}}+\frac{S_{2 n}}{a_{2 n}}\right) \\ & =\left(1-\frac{1}{4}-\frac{1}{12}\right)+\left(1-\frac{1}{4^{2}}-\frac{2}{4^{2}-\left(4^{2}-1\right)}\right)+\cdots+\left(1-\frac{1}{4^{n}}-\frac{n}{\left(4^{n}-1\right)}\right) \\ & =n-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)-\left(\frac{1}{4^{2}}+\frac{2}{4^{2}\left(4^{2}-1\right)}\right)-\cdots-\left(\frac{1}{4^{n}}+\frac{n}{4^{n}\left(4^{n}-1\right)}\right) \\ & \leq n-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)=n-\frac{1}{3} \end{aligned} $$

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## 2011 年天津市高考数学试卷（理科）