2011 高考数学第 19 题答案解析

20．（本小题满分 14 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$b_{n} a_{n}+a_{n+1}+b_{n+1} a_{n+2}=0, b_{n}=\frac{3+(-1)^{n}}{2}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，且 $a_{1}=2, a_{2}=4$.
（I）求 $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 的值；
（II）设 $c_{n}=a_{2 n-1}+a_{2 n+1}, n \in N^{*}$ ，证明：$\left\{c_{n}\right\}$ 是等比数列；
（III）设 $S_{k}=a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 k}, k \in N^{*}$ ，证明：$\sum_{k=1}^{4 n} \frac{S_{k}}{a_{k}}<\frac{7}{6}\left(n \in N^{*}\right)$ ．