设曲线 y=e^ x 在点 (0,1) 处的切线与曲线 y…——2015 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $(1,1)$

【解析】因为 $y=e^{x}$ ，所以 $y^{\prime}=e^{x}$ ，所以曲线 $y=e^{x}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线的斜率 $k_{1}=\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=e^{0}=1$ ，设 P的坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0}>0\right)$ ，则 $y_{0}=\frac{1}{x_{0}}$ ，因为 $y=\frac{1}{x}$ ，所以 $y^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}$ ，所以曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 P 处的切线的斜率 $k_{2}=\left.y^{\prime}\right|_{x=x_{0}}=-\frac{1}{x_{0}^{2}}$ ，因为 $k_{1} \cdot k_{2}=-1$ ，所以 $-\frac{1}{x_{0}^{2}}=-1$ ，即 $x_{0}^{2}=1$ ，解得 $x_{0}= \pm 1$ ，因为 $x_{0}>0$ ，所以 $x_{0}=1$ ，所以 $y_{0}=1$ ，即 P 的坐标是 $(1,1)$ ，所以答案应填：$(1,1)$ ．

【考点定位】1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．
【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和两条直线的位置关系，属于容易题。解题时一定要注意考虑直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误。解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．