（本小题满分 10 分） 设 为随机变量，从棱长为 1 的…——2012 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
（10分）（2012•江苏）设 $\xi$ 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，$\xi=0$ ；当两条棱平行时，$\xi$ 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， $\xi=1$ ．
（1）求概率 $\mathrm{P}(\xi=0)$ ；
（2）求 $\xi$ 的分布列，并求其数学期望 E （ $\xi$ ）．

考点 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
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专题 概率与统计．
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分析（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率．
：（2）求出两条棱平行且距离为 $\sqrt{2}$ 的共有 6 对，即可求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列与数学期望。
解答 解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的一个，过任意 1 个顶点恰有 ：3条棱，
∴ 共有 $8 \mathrm{C}_{3}^{2}$ 对相交棱，
$\therefore P(\xi=0)=\frac{8 C_{3}^{2}}{C_{12}^{2}}=\frac{4}{11}$ ．
（2）若两条棱平行，则它们的距离为 1 或 $\sqrt{2}$ ，其中距离为 $\sqrt{2}$ 的共有 6 对，
$\therefore P(\xi=\sqrt{2})=\frac{6}{C_{12}^{2}}=\frac{1}{11}, P(\xi=1)=1-P(\xi=0)-P(\xi=\sqrt{2})=\frac{6}{11}$ ．
∴ 随机变量 $\xi$ 的分布列是：

∴ 其数学期望 $\mathrm{E}(\xi)=1 \times \frac{6}{11}+\sqrt{2} \times \frac{1}{11}=\frac{6+\sqrt{2}}{11}$ ．
点评 本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，求概率是关键．