（12分）已知函数 f(x)=x^ 3 +3 a x^ 2…——2013 高考数学第 21 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．
【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．
【分析】①把 $a=\sqrt{2}$ 代入可得函数 $f(x)$ 的解析式，求导数令其为 0 可得 $x=- \sqrt{2}-1$ ，或 $\mathrm{x}=-\sqrt{2}+1$ ，判断函数在区间 $(-\infty,-\sqrt{2}-1),(-\sqrt{2}-1,- \sqrt{2}+1) ~(-\sqrt{2}+1,+\infty)$ 的正负可得单调性；（II）由 $f② \geq 0$ ，可得 $a \geq -\frac{5}{4}$, 当 $a \geq-\frac{5}{4}, x \in(2,+\infty)$ 时，由不等式的证明方法可得 $f^{\prime}(x)>0$ ，可得单调性，进而可得当 $x \in[2,+\infty)$ 时，有 $f(x) \geq f(2) \geq 0$ 成立，进而可得 $a$ 的范围．

【解答】解：①当 $a=\sqrt{2}$ 时，$f(x)=x^{3}+3 \sqrt{2} x^{2}+3 x+1$ ， $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+6 \sqrt{2} x+3$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，可得 $x=-\sqrt{2}-1$ ，或 $x=-\sqrt{2}+1$ ，当 $x \in(-\infty,-\sqrt{2}-1)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增，当 $x \in(-\sqrt{2}-1,-\sqrt{2}+1)$ 时，$f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减，当 $x \in(-\sqrt{2}+1,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增；
（II）由 $\mathrm{f}② \geq 0$ ，可解得 $\mathrm{a} \geq-\frac{5}{4}$ ，当 $\mathrm{a} \geq-\frac{5}{4}, x \in(2,+\infty)$ 时， $f^{\prime}(x)=3\left(x^{2}+2 a x+1\right) \geq 3\left(x^{2}-\frac{5}{2} x+1\right)=3\left(x-\frac{1}{2}\right) \quad(x-2)>0$ ，
所以函数 $f(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 单调递增，于是当 $x \in[2,+\infty)$ 时，$f(x) \geq f(2) \geq$ 0，

综上可得， a 的取值范围是 $\left[-\frac{5}{4},+\infty\right)$
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题。