数列 a_ n 的前 n 项和为 S_ n，若 a_ 1…——2011 高考数学第 9 题答案解析

【解答】
（5 分）（2011•四川）数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，若 $\mathrm{a}_{1}=1, ~ \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=3 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}(\mathrm{n} \geq 1)$ ，则 $\mathrm{a}_{6}=~(\quad)$
A． $3 \times 4^{4}$
B． $3 \times 4^{4}+1$
C． $4^{4}$
D． $4^{4}+1$

【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前 n 项和．
【专题】计算题。
【分析】根据已知的 $a_{n+1}=3 S_{n}$ ，当 $n$ 大于等于2时得到 $a_{n}=3 S_{n-1}$ ，两者相减，根据 $S_{n}-S_{n-1}=a_{n}$ ，得到数列的第 $n+1$ 项等于第 $n$ 项的 4 倍（ $n$ 大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第 2 项，公比为 4 的等比数列，由 $\mathrm{a}_{1}=1, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=3 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}$ ，令 $\mathrm{n}=1$ ，即可求出第 2 项的值，写出 2 项以后各项的通项公式，把 $\mathrm{n}=6$ 代入通项公式即可求出第 6 项的值。
【解答】解：由 $a_{n+1}=3 S_{n}$ ，得到 $a_{n}=3 S_{n-1}(n \geq 2)$ ，
两式相减得：$a_{n+1}-a_{n}=3\left(S_{n}-S_{n-1}\right)=3 a_{n}$ ，

则 $a_{n+1}=4 a_{n}(n \geq 2)$ ，又 $a_{1}=1, a_{2}=3 S_{1}=3 a_{1}=3$ ，
得到此数列除去第一项后，为首项是 3 ，公比为 4 的等比数列，
所以 $a_{n}=a_{2} q^{n-2}=3 \times 4^{n-2} ~(n \geq 2) ~$
则 $\mathrm{a}_{6}=3 \times 4^{4}$ 。
故选 A
【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．