（5 分）（2016•天津）已知双曲线 x^ 2 4 -…——2016 高考数学第 6 题答案解析

【解答】
（5分）（2016•天津）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 四点，四边形 ABCD 的面积为 $2 b$ ，则双曲线的方程为
A．$\frac{x^{2}}{4}-\frac{3 y^{2}}{4}=1$
B．$\frac{x^{2}}{4}-\frac{4 y^{2}}{3}=1$
C．$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$
D．$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$

【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 $x^{2}+y^{2}=4$ ，双曲线的两条渐近线方程为 $\mathrm{y}= \pm \frac{\mathrm{b}}{2} \mathrm{x}$ ，利用四边形 ABCD 的面积为 2 b ，求出 A 的坐标，代入圆的方程，即可得出结论。
【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 $x^{2}+y^{2}=4$ ，双曲线的两条渐近线方程为 $\mathrm{y}= \pm \frac{\mathrm{b}}{2} \mathrm{x}$ ，
设 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}, \frac{\mathrm{b}}{2} \mathrm{x}\right)$ ，则 ∵ 四边形 ABCD 的面积为 2 b ，
$\therefore 2 \mathrm{x} \cdot \mathrm{bc}=2 \mathrm{~b}$ ，
$\therefore \mathrm{x}= \pm 1$
将 $\mathrm{A}\left(1, \frac{\mathrm{~b}}{2}\right)$ 代入 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=4$ ，可得 $1+\frac{\mathrm{b}^{2}}{4}=4, \quad \therefore \mathrm{~b}^{2}=12$ ，
∴ 双曲线的方程为 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{12}=1$ ，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．