（本小题满分 14 分）已知椭圆 C: x^ 2 a^ 2…——2014 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（14分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若动点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程。

【解答】
解：（1）可知 $c=\sqrt{5}$ ，又 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}, \therefore a=3, b^{2}=a^{2}-c^{2}=4$ ，
椭圆 C 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ；
②设两切线为 $l_{1}, l_{2}$ ，
①当 $l_{1} \perp x$ 轴或 $l_{1} / / x$ 轴时，对应 $l_{2} / / x$ 轴或 $l_{2} \perp x$ 轴，可知 $P( \pm 3, \pm 2)$ ；
②当 $l_{1}$ 与 $x$ 轴不垂直且不平行时，$x_{0} \neq \pm 3$ ，设 $l_{1}$ 的斜率为 $k$ ，则 $k \neq 0, l_{2}$ 的斜率为 $-\frac{1}{k}$ ，
$l_{1}$ 的方程为 $y-y_{0}=k\left(x-x_{0}\right)$ ，联立 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，
得 $\left(9 k^{2}+4\right) x^{2}+18\left(y_{0}-k x_{0}\right) k x+9\left(y_{0}-k x_{0}\right)^{2}-36=0$ ，
因为直线与椭圆相切，所以 $\Delta=0$ ，得 $9\left(y_{0}-k x_{0}\right)^{2} k^{2}-\left(9 k^{2}+4\right)\left[\left(y_{0}-k x_{0}\right)^{2}-4\right]=0$ ，
$\therefore-36 k^{2}+4\left[\left(y_{0}-k x_{0}\right)^{2}-4\right]=0$ ，
$\therefore\left(x_{0}{ }^{2}-9\right) k^{2}-2 x_{0} y_{0} k+y_{0}{ }^{2}-4=0$
所以 $k$ 是方程 $\left(x_{0}^{2}-9\right) x^{2}-2 x_{0} y_{0} x+y_{0}^{2}-4=0$ 的一个根，

同理 $-\frac{1}{k}$ 是方程 $\left(x_{0}{ }^{2}-9\right) x^{2}-2 x_{0} y_{0} x+y_{0}{ }^{2}-4=0$ 的另一个根，
$\therefore k \cdot\left(-\frac{1}{k}\right)=\frac{y_{0}^{2}-4}{x_{0}^{2}-9}$ ，得 $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=13$ ，其中 $x_{0} \neq \pm 3$ ，
所以点 $P$ 的轨迹方程为 $x^{2}+y^{2}=13(x \neq \pm 3)$ ，
因为 $P( \pm 3, \pm 2)$ 满足上式，综上知：点 $P$ 的轨迹方程为 $x^{2}+y^{2}=13$ ．