为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更…_2019??高考数学第21题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

21．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 -1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 -1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$ ，一轮试验中甲药的得分记为 $X$ ．
（1）求 $X$ 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，$p_{i}(i=0,1, \cdots, 8)$ 表示＂甲药的累计得分为 $i$ 时

，最终认为甲药比乙药更有效＂的概率，则 $p_{0}=0, p_{8}=1, p_{i}=a p_{i-1}+b p_{i}+c p_{i+1} (i=1,2, \cdots, 7)$ ，其中 $a=P(X=-1), b=P(X=0), c=P(X=1)$ 。假设 $\alpha=0.5$ ， $\beta=0.8$.
（i）证明：$\left\{p_{i+1}-p_{i}\right\}(i=0,1,2, \cdots, 7)$ 为等比数列；
（ii）求 $p_{4}$ ，并根据 $p_{4}$ 的值解释这种试验方案的合理性。

Accepted Answer

(1) 见解析; (2) （i）见解析；（ii）$p_{4}=\frac{1}{257}$ ．

【答案】①见解析；
②（i）见解析；（ii）$p_{4}=\frac{1}{257}$ ．

## 【解析】

## 【分析】

①首先确定 $X$ 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；
②（i）求解出 $a, b, c$ 的取值，可得 $p_{i}=0.4 p_{i-1}+0.5 p_{i}+0.1 p_{i+1}(i=1,2, \cdots, 7)$ ，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合 $p_{8}$ 和 $p_{0}$ 的值可求得 $p_{1}$ ；再次利用累加法可求出 $p_{4}$ 。

【详解】①由题意可知 $X$ 所有可能的取值为：$-1,0,1$
$\therefore P(X=-1)=(1-\alpha) \beta ; P(X=0)=\alpha \beta+(1-\alpha)(1-\beta) ; P(X=1)=\alpha(1-\beta)$
则 $X$ 的分布列如下：

X	－1	0	1
$P$	$(1-\alpha) \beta$	$\alpha \beta+(1-\alpha)(1-\beta)$	$\alpha(1-\beta)$

②$\because \alpha=0.5, \quad \beta=0.8$
$\therefore a=0.5 \times 0.8=0.4, \quad b=0.5 \times 0.8+0.5 \times 0.2=0.5, \quad c=0.5 \times 0.2=0.1$
（i）$\because p_{i}=a p_{i-1}+b p_{i}+c p_{i+1}(i=1,2, \cdots, 7)$
即 $p_{i}=0.4 p_{i-1}+0.5 p_{i}+0.1 p_{i+1}(i=1,2, \cdots, 7)$
整理可得： $5 p_{i}=4 p_{i-1}+p_{i+1}(i=1,2, \cdots, 7) \quad \therefore p_{i+1}-p_{i}=4\left(p_{i}-p_{i-1}\right)(i=1,2, \cdots, 7)$

为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更…——2019 高考数学第 21 题答案解析

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