2016_上海卷 (2016·文)
21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与双曲线交于 $A , B$ 两点．
（1）若 7 的倾斜角为 $\frac{\pi}{2}, \triangle F_{1} A B$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
②设 $b=\sqrt{3}$ ，若 $l$ 的斜率存在，且 $|A B|=4$ ，求 $l$ 的斜率．
【答案】
①$y= \pm \sqrt{2} x$ ；
②$\pm \frac{\sqrt{15}}{5}$ ．
## 【解析】
试题分析：（1）设 $A\left(x_{A}, y_{A}\right)$ ，根据题设条件可以得到 $4\left(1+b^{2}\right)=3 b^{4}$ ，从而解得 $b^{2}$ 的值。
（2）设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，直线 $l: y=k(x-2)$ 与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据 $l$ 与双曲线交于两点，可得 $k^{2}-3 \neq 0$ ，且 $\Delta=36\left(1+k^{2}\right)>0$ 。由 $|A B|=4$ 构建关于 $k$ 的方程进行求解．
试题解析：（1）设 $A\left(x_{A}, y_{A}\right)$ ．
由题意，$F_{2}(c, 0), c=\sqrt{1+b^{2}}, y_{\mathrm{A}}^{2}=b^{2}\left(c^{2}-1\right)=b^{4}$ ，
因为 $\triangle F_{1} A B$ 是等边三角形，所以 $2 c=\sqrt{3}\left|y_{\mathrm{A}}\right|$ ，
即 $4\left(1+b^{2}\right)=3 b^{4}$ ，解得 $b^{2}=2$ ．
故双曲线的渐近线方程为 $y= \pm \sqrt{2} x$ ．
②由已知，$F_{2}(2,0)$ ．
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，直线 $l: y=k(x-2)$ ．
由 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1 \\ y=k(x-2)\end{array}\right.$ ，得 $\left(k^{2}-3\right) x^{2}-4 k^{2} x+4 k^{2}+3=0$ ．
因为 $l$ 与双曲线交于两点，所以 $k^{2}-3 \neq 0$ ，且 $\Delta=36\left(1+k^{2}\right)>0$ ．
由 $x_{1}+x_{2}=\frac{4 k^{2}}{k^{2}-3}, x_{1} x_{2}=\frac{4 k^{2}+3}{k^{2}-3}$ ，得 $\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=\frac{36\left(k^{2}+1\right)}{\left(k^{2}-3\right)^{2}}$ ，
故 $|A B|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}=\sqrt{1+k^{2}}\left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{6\left(k^{2}+1\right)}{\left|k^{2}-3\right|}=4$ ，
解得 $k^{2}=\frac{3}{5}$ ，故 $l$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{15}}{5}$ ．
考点：1．双曲线的几何性质；2．直线与双曲线的位置关系；3．弦长公式．